$P = (p_1\ p_2\ p_3\ p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ p_2\ 2p_1+3p_2\ p_3\ 3p_1-3p_2+2p_3)$ $b = -p_1+3p_2+3p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax=b$ の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうかを判定する問題。与えられた式は $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\ 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}$ である。

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3\ p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ p_2\ 2p_1+3p_2\ p_3\ 3p_1-3p_2+2p_3)$

$b = -p_1+3p_2+3p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax=b$ の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうかを判定する問題。与えられた式は

$\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\ 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}$

である。

2. 解き方の手順

$Ax=b$ を成分で書き下すと以下のようになる。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とおくと

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (2p_1+3p_2) + x_4 (3p_1-3p_2+2p_3) = -p_1+3p_2+3p_3$

整理すると

$(x_1+2x_3+3x_4)p_1 + (x_2+3x_3-3x_4)p_2 + 2x_4 p_3 = -p_1+3p_2+3p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は一次独立なので、

$x_1+2x_3+3x_4 = -1$

$x_2+3x_3-3x_4 = 3$

$2x_4 = 3$

となる。したがって、$x_4 = \frac{3}{2}$ となる。

$x_1+2x_3 = -1-3x_4 = -1-\frac{9}{2} = -\frac{11}{2}$

$x_2+3x_3 = 3+3x_4 = 3+\frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

$x_1 = -\frac{11}{2} - 2x_3$

$x_2 = \frac{15}{2} - 3x_3$

$x = \begin{pmatrix} -\frac{11}{2} - 2x_3 \\ \frac{15}{2} - 3x_3 \\ x_3 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ \frac{15}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

与えられたパラメータ表示を成分で書き下すと

$\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\ 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+2p \\ 3p-15q \\ 1-p+3q \\ 3+4q \\ -2q \end{pmatrix}$

これは $Ax=b$ の解ではないため、誤りである。

元の問題がもし $A = (p_1\ p_2\ 2p_1+3p_2\ 2p_3)$ である場合、$Ax=b$ は

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (2p_1+3p_2) + x_4 (2p_3) = -p_1+3p_2+3p_3$

$(x_1+2x_3)p_1 + (x_2+3x_3)p_2 + 2x_4 p_3 = -p_1+3p_2+3p_3$

$x_1+2x_3 = -1$

$x_2+3x_3 = 3$

$2x_4 = 3$

$x_4 = \frac{3}{2}$

$x_1 = -1-2x_3$

$x_2 = 3-3x_3$

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2x_3 \\ 3-3x_3 \\ x_3 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

与えられたパラメータ表示は正しくない。

3. 最終的な答え

誤り