$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -3p_1 + 2p_2)$， $b = p_1 + 2p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ($p, q \in \mathbb{R}$) は正しいか。

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -3p_1 + 2p_2)$，

$b = p_1 + 2p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ($p, q \in \mathbb{R}$)

は正しいか。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を列ベクトル $p_1, p_2, p_3$ を用いて表す。

$A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -3p_1 + 2p_2) = (p_1\ p_2\ p_3) \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = b$ は

$P \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = p_1 + 2p_2 = P \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$P$ は正則行列なので、

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは

$x_1 - 2x_2 - 3x_4 = 1$

$x_3 + 2x_4 = 2$

$x_1 = 1 + 2x_2 + 3x_4$

$x_3 = 2 - 2x_4$

したがって、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2x_2 + 3x_4 \\ x_2 \\ 2 - 2x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$p = x_2, q = x_4$ とすると、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示と比較する。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示は正しくない。

3. 最終的な答え

正しくない