正則行列 $P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ が与えられ、行列 $A$ とベクトル $b$ が以下のように定義されています。 $A = (p_1 \ -2p_1 \ p_2 \ p_3 \ 4p_1 - p_2 - 3p_3)$ $b = 2p_1 + 3p_2 - 2p_3$ このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルが正しいかどうかを判定します。 与えられたベクトルは $x = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 1 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。ここで、$p \in \mathbb{R}$ です。

代数学線形代数連立一次方程式行列ベクトルパラメータ表示
2025/7/17

1. 問題の内容

正則行列 P=(p1 p2 p3 p4)P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4) が与えられ、行列 AA とベクトル bb が以下のように定義されています。
A=(p1 2p1 p2 p3 4p1p23p3)A = (p_1 \ -2p_1 \ p_2 \ p_3 \ 4p_1 - p_2 - 3p_3)
b=2p1+3p22p3b = 2p_1 + 3p_2 - 2p_3
このとき、連立一次方程式 Ax=bAx = b の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルが正しいかどうかを判定します。
与えられたベクトルは
x=(05182)+p(23262)x = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 1 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}
です。ここで、pRp \in \mathbb{R} です。

2. 解き方の手順

与えられたベクトルが Ax=bAx=b の解であるかを確かめるために、AAxxを掛け合わせた結果がbbと一致するかどうかを確認します。
A=(p1 2p1 p2 p3 4p1p23p3)A = (p_1 \ -2p_1 \ p_2 \ p_3 \ 4p_1 - p_2 - 3p_3) なので、AAの列ベクトルをa1,a2,a3,a4,a5a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 とすると
a1=p1a_1 = p_1
a2=2p1a_2 = -2p_1
a3=p2a_3 = p_2
a4=p3a_4 = p_3
a5=4p1p23p3a_5 = 4p_1 - p_2 - 3p_3
x=(05182)+p(23262)=(2p53p12p86p22p)x = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 1 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2p \\ -5-3p \\ 1-2p \\ -8-6p \\ -2-2p \end{pmatrix}
したがって、
Ax=(2p)p1+(53p)(2p1)+(12p)p2+(86p)p3+(22p)(4p1p23p3)Ax = (2p)p_1 + (-5-3p)(-2p_1) + (1-2p)p_2 + (-8-6p)p_3 + (-2-2p)(4p_1 - p_2 - 3p_3)
=2pp1+(10+6p)p1+(12p)p2+(86p)p3+(88p)p1+(2+2p)p2+(6+6p)p3= 2p p_1 + (10+6p)p_1 + (1-2p)p_2 + (-8-6p)p_3 + (-8-8p)p_1 + (2+2p)p_2 + (6+6p)p_3
=(2p+10+6p88p)p1+(12p+2+2p)p2+(86p+6+6p)p3= (2p+10+6p-8-8p)p_1 + (1-2p+2+2p)p_2 + (-8-6p+6+6p)p_3
=2p1+3p22p3=b= 2p_1 + 3p_2 - 2p_3 = b
よって、Ax=bAx = b となり、与えられたベクトルは解のパラメータ表示として正しいです。

3. 最終的な答え

正しい

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