3本の直線 $l: y = -x + 4$, $m: y = -2x - 2$, $n: y = x - 2$ があり、それらの交点をそれぞれA, B, Cとする。 (1) 3点A, B, Cの座標をそれぞれ求めよ。 (2) 次の点を通り、$\triangle ABC$ の面積を2等分する直線の式をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

3本の直線 $l: y = -x + 4$, $m: y = -2x - 2$, $n: y = x - 2$ があり、それらの交点をそれぞれA, B, Cとする。

(1) 3点A, B, Cの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 次の点を通り、$\triangle ABC$ の面積を2等分する直線の式をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 交点の座標を求める。

Aは直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式

$y = -x + 4$

$y = -2x - 2$

を解く。

$-x + 4 = -2x - 2$ より、$x = -6$。

$y = -(-6) + 4 = 10$。よって、Aの座標は $(-6, 10)$。

Bは直線 $m$ と $n$ の交点なので、連立方程式

$y = -2x - 2$

$y = x - 2$

を解く。

$-2x - 2 = x - 2$ より、$3x = 0$ なので $x = 0$。

$y = 0 - 2 = -2$。よって、Bの座標は $(0, -2)$。

Cは直線 $l$ と $n$ の交点なので、連立方程式

$y = -x + 4$

$y = x - 2$

を解く。

$-x + 4 = x - 2$ より、$2x = 6$ なので $x = 3$。

$y = 3 - 2 = 1$。よって、Cの座標は $(3, 1)$。

(2) $\triangle ABC$ の面積を2等分する直線

点Aを通る場合、BCの中点Mを通ればよい。

Mの座標は $\left(\frac{0+3}{2}, \frac{-2+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

2点A,Mを通る直線の傾きは、

$\frac{10-(-\frac{1}{2})}{-6-\frac{3}{2}} = \frac{10.5}{-7.5} = -\frac{105}{75} = -\frac{7}{5}$

よって、求める直線の方程式は

$y - 10 = -\frac{7}{5} (x + 6)$

$y = -\frac{7}{5}x - \frac{42}{5} + 10$

$y = -\frac{7}{5}x + \frac{8}{5}$

点Bを通る場合、ACの中点Nを通ればよい。

Nの座標は $\left(\frac{-6+3}{2}, \frac{10+1}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{11}{2}\right)$

2点B,Nを通る直線の傾きは、

$\frac{-2 - \frac{11}{2}}{0 - (-\frac{3}{2})} = \frac{-\frac{15}{2}}{\frac{3}{2}} = -5$

よって、求める直線の方程式は

$y - (-2) = -5(x - 0)$

$y = -5x - 2$

点Cを通る場合、ABの中点Pを通ればよい。

Pの座標は $\left(\frac{-6+0}{2}, \frac{10-2}{2}\right) = (-3, 4)$

2点C,Pを通る直線の傾きは、

$\frac{1-4}{3-(-3)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

よって、求める直線の方程式は

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) Aの座標: $(-6, 10)$, Bの座標: $(0, -2)$, Cの座標: $(3, 1)$

(2) 点Aを通る直線: $y = -\frac{7}{5}x + \frac{8}{5}$

点Bを通る直線: $y = -5x - 2$

点Cを通る直線: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$