定積分 $\int_{0}^{3} x|x-1| dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} x|x-1| dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を分割する。

$x \ge 1$ のとき $|x-1| = x-1$ であり、$x < 1$ のとき $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ である。

したがって、積分を $0 \le x \le 1$ と $1 \le x \le 3$ の区間に分けて計算する。

$\int_{0}^{3} x|x-1| dx = \int_{0}^{1} x(1-x) dx + \int_{1}^{3} x(x-1) dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_{0}^{1} x(1-x) dx = \int_{0}^{1} (x-x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$\int_{1}^{3} x(x-1) dx = \int_{1}^{3} (x^2 - x) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{1}^{3} = (\frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2)) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = (9 - \frac{9}{2}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{1}{6} = \frac{27}{6} + \frac{1}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{3} x|x-1| dx = \frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{1}{6} + \frac{28}{6} = \frac{29}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{29}{6}$