(1) 点 $(2, -2)$ から曲線 $C_1: y = \frac{1}{3}x^3 - x$ に引いた接線の方程式を求める。ただし、接点の $x$ 座標は正とする。 (2) 曲線 $C_2: y = \frac{2}{9}x^3 - \frac{5}{3}x$ 上の点 $(2, -\frac{14}{9})$ における法線の方程式を求める。 (3) (2) で求めた法線と曲線 $C_2$ の共有点のうち、点 $(2, -\frac{14}{9})$ 以外の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 点 $(2, -2)$ から曲線 $C_1: y = \frac{1}{3}x^3 - x$ に引いた接線の方程式を求める。ただし、接点の $x$ 座標は正とする。

(2) 曲線 $C_2: y = \frac{2}{9}x^3 - \frac{5}{3}x$ 上の点 $(2, -\frac{14}{9})$ における法線の方程式を求める。

(3) (2) で求めた法線と曲線 $C_2$ の共有点のうち、点 $(2, -\frac{14}{9})$ 以外の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、接点の座標を $(t, \frac{1}{3}t^3 - t)$ とおく。

$y' = x^2 - 1$ より、接線の方程式は

$y - (\frac{1}{3}t^3 - t) = (t^2 - 1)(x - t)$

これが点 $(2, -2)$ を通るので、

$-2 - (\frac{1}{3}t^3 - t) = (t^2 - 1)(2 - t)$

$-2 - \frac{1}{3}t^3 + t = 2t^2 - t^3 - 2 + t$

$\frac{2}{3}t^3 - 2t^2 = 0$

$2t^2(t/3 - 1) = 0$

$t=0$ または $t=3$

$t > 0$ より、$t=3$。

よって、接点の座標は $(3, \frac{1}{3}(3^3) - 3) = (3, 6)$

接線の傾きは $3^2 - 1 = 8$

したがって、接線の方程式は $y - 6 = 8(x - 3)$ より $y = 8x - 18$

(2)

$C_2: y = \frac{2}{9}x^3 - \frac{5}{3}x$ について、$y' = \frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{3}$

点 $(2, -\frac{14}{9})$ における接線の傾きは $\frac{2}{3}(2^2) - \frac{5}{3} = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} = 1$

法線の傾きは $-1$

よって法線の方程式は $y - (-\frac{14}{9}) = -1(x - 2)$

$y + \frac{14}{9} = -x + 2$

$y = -x + 2 - \frac{14}{9}$

$y = -x + \frac{4}{9}$

$9y = -9x + 4$

$9x + 9y - 4 = 0$

(3)

法線 $y = -x + \frac{4}{9}$ と曲線 $y = \frac{2}{9}x^3 - \frac{5}{3}x$ の共有点を求める。

$\frac{2}{9}x^3 - \frac{5}{3}x = -x + \frac{4}{9}$

$\frac{2}{9}x^3 - \frac{2}{3}x - \frac{4}{9} = 0$

$2x^3 - 6x - 4 = 0$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 0$

$(x - 2)(x + 1)^2 = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ のとき $y = -2 + \frac{4}{9} = -\frac{14}{9}$

$x = -1$ のとき $y = -(-1) + \frac{4}{9} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$

したがって、点 $(2, -\frac{14}{9})$ 以外の共有点は $(-1, \frac{13}{9})$

3. 最終的な答え

(1) 38: 8, 39: 18, 40: 空欄

(2) 41: 9, 42: 9, 43: 4

(3) 44: 1, 45: 1, 46: 3, 47: 9