放物線 $y = -x^2 + 2x + 2$ と直線 $y = 2x + 1$ で囲まれた面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 2$ と直線 $y = 2x + 1$ で囲まれた面積を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 放物線と直線の交点のx座標を求める。

$y$ の値を等しいとおいて、

$-x^2 + 2x + 2 = 2x + 1$

$-x^2 + 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

ステップ2: 積分範囲を確認する。

交点のx座標は $x=-1$ と $x=1$ なので、積分範囲は $-1 \leq x \leq 1$。

ステップ3: 積分する関数を決定する。

積分する関数は、2つの関数の差の絶対値である。積分範囲において、直線が放物線の上にあるので、

$(2x + 1) - (-x^2 + 2x + 2) = x^2 - 1$

これを積分する。

ステップ4: 定積分を計算する。

求める面積は、

$S = \int_{-1}^{1} |x^2 - 1| dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

$S = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{1}$

$S = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right)$

$S = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right)$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$