不定積分 $\int \frac{2}{x^2-1} dx$ を求めよ。ただし、$C$ は積分定数とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{2}{x^2-1} dx$ を求めよ。ただし、$C$ は積分定数とする。

2. 解き方の手順

被積分関数 $\frac{2}{x^2-1}$ を部分分数分解する。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であるから、

$\frac{2}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

となる $A$ と $B$ を求める。両辺に $(x-1)(x+1)$ をかけると

$2 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき、 $2 = 2A$ より $A=1$

$x=-1$ のとき、 $2 = -2B$ より $B=-1$

したがって、

$\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

与えられた積分は

$\int \frac{2}{x^2-1} dx = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx$

$= \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$

$= \log|x-1| - \log|x+1| + C$

$= \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$