極値を求めるには、まず導関数を計算し、それが0になる点を求めます。次に、その点で導関数の符号が変化するかどうかを調べます。符号が変化する場合、その点は極値を与えます。
(1) y=x2e−x y′=2xe−x−x2e−x=xe−x(2−x) y′=0 となるのは x=0 または x=2 のとき。 x<0 のとき y′<0 0<x<2 のとき y′>0 x>2 のとき y′<0 したがって、x=0 で極小値 y=0 をとり、x=2 で極大値 y=4e−2 をとる。 (2) y=logxx y′=(logx)2logx−x⋅x1=(logx)2logx−1 y′=0 となるのは logx=1 つまり x=e のとき。 x<e のとき y′<0 x>e のとき y′>0 したがって、x=e で極小値 y=logee=e をとる。 ただし、x>0 かつ x=1 である必要がある。 (3) y=x41+(1−x)41 y′=−x54+(1−x)54 y′=0 となるのは x5=(1−x)5 つまり x=1−x のとき。 2x=1 より x=21 x<21 のとき x5<(1−x)5 より y′<0 x>21 のとき x5>(1−x)5 より y′>0 したがって、x=21 で極小値 y=(1/2)41+(1−1/2)41=16+16=32 をとる。 ただし、x=0 かつ x=1 である必要がある。 (4) y=2sinx+cos2x=2sinx+1−2sin2x(0≤x≤2π) y′=2cosx−4sinxcosx=2cosx(1−2sinx) y′=0 となるのは cosx=0 または sinx=21 のとき。 cosx=0 より x=2π,23π sinx=21 より x=6π,65π x=6π のとき y=2⋅21+cos3π=1+21=23 (極大) x=2π のとき y=2⋅1+cosπ=2−1=1 (極小) x=65π のとき y=2⋅21+cos35π=1+21=23 (極大) x=23π のとき y=2⋅(−1)+cos3π=−2−1=−3 (極小) また、x=0 のとき y=2⋅0+cos0=1 x=2π のとき y=2⋅0+cos4π=1