次の関数の極値を求める問題です。 (1) $y = x^2 e^{-x}$ (2) $y = \frac{x}{\log x}$ (3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$ (4) $y = 2 \sin x + \cos 2x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)$

解析学極値微分導関数関数の増減
2025/7/17

1. 問題の内容

次の関数の極値を求める問題です。
(1) y=x2exy = x^2 e^{-x}
(2) y=xlogxy = \frac{x}{\log x}
(3) y=1x4+1(1x)4y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}
(4) y=2sinx+cos2x(0x2π)y = 2 \sin x + \cos 2x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)

2. 解き方の手順

極値を求めるには、まず導関数を計算し、それが0になる点を求めます。次に、その点で導関数の符号が変化するかどうかを調べます。符号が変化する場合、その点は極値を与えます。
(1) y=x2exy = x^2 e^{-x}
y=2xexx2ex=xex(2x)y' = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x)
y=0y' = 0 となるのは x=0x = 0 または x=2x = 2 のとき。
x<0x < 0 のとき y<0y' < 0
0<x<20 < x < 2 のとき y>0y' > 0
x>2x > 2 のとき y<0y' < 0
したがって、x=0x = 0 で極小値 y=0y = 0 をとり、x=2x = 2 で極大値 y=4e2y = 4e^{-2} をとる。
(2) y=xlogxy = \frac{x}{\log x}
y=logxx1x(logx)2=logx1(logx)2y' = \frac{\log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}
y=0y' = 0 となるのは logx=1\log x = 1 つまり x=ex = e のとき。
x<ex < e のとき y<0y' < 0
x>ex > e のとき y>0y' > 0
したがって、x=ex = e で極小値 y=eloge=ey = \frac{e}{\log e} = e をとる。
ただし、x>0x>0 かつ x1x \neq 1 である必要がある。
(3) y=1x4+1(1x)4y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}
y=4x5+4(1x)5y' = -\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5}
y=0y' = 0 となるのは x5=(1x)5x^5 = (1-x)^5 つまり x=1xx = 1-x のとき。
2x=12x = 1 より x=12x = \frac{1}{2}
x<12x < \frac{1}{2} のとき x5<(1x)5x^5 < (1-x)^5 より y<0y' < 0
x>12x > \frac{1}{2} のとき x5>(1x)5x^5 > (1-x)^5 より y>0y' > 0
したがって、x=12x = \frac{1}{2} で極小値 y=1(1/2)4+1(11/2)4=16+16=32y = \frac{1}{(1/2)^4} + \frac{1}{(1-1/2)^4} = 16+16 = 32 をとる。
ただし、x0x \neq 0 かつ x1x \neq 1 である必要がある。
(4) y=2sinx+cos2x=2sinx+12sin2x(0x2π)y = 2 \sin x + \cos 2x = 2 \sin x + 1 - 2 \sin^2 x \quad (0 \leq x \leq 2\pi)
y=2cosx4sinxcosx=2cosx(12sinx)y' = 2 \cos x - 4 \sin x \cos x = 2 \cos x (1 - 2 \sin x)
y=0y' = 0 となるのは cosx=0\cos x = 0 または sinx=12\sin x = \frac{1}{2} のとき。
cosx=0\cos x = 0 より x=π2,3π2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}
sinx=12\sin x = \frac{1}{2} より x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
x=π6x = \frac{\pi}{6} のとき y=212+cosπ3=1+12=32y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} (極大)
x=π2x = \frac{\pi}{2} のとき y=21+cosπ=21=1y = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 - 1 = 1 (極小)
x=5π6x = \frac{5\pi}{6} のとき y=212+cos5π3=1+12=32y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{5\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} (極大)
x=3π2x = \frac{3\pi}{2} のとき y=2(1)+cos3π=21=3y = 2 \cdot (-1) + \cos 3\pi = -2 - 1 = -3 (極小)
また、x=0x = 0 のとき y=20+cos0=1y = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 1
x=2πx = 2\pi のとき y=20+cos4π=1y = 2 \cdot 0 + \cos 4\pi = 1

3. 最終的な答え

(1) x=0x = 0 で極小値 00, x=2x = 2 で極大値 4e24e^{-2}
(2) x=ex = e で極小値 ee
(3) x=12x = \frac{1}{2} で極小値 3232
(4) x=π6x = \frac{\pi}{6} で極大値 32\frac{3}{2}, x=5π6x = \frac{5\pi}{6} で極大値 32\frac{3}{2}, x=π2x = \frac{\pi}{2} で極小値 11, x=3π2x = \frac{3\pi}{2} で極小値 3-3

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