与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、(1) $y = x^2e^{-x}$、(2) $y = \frac{x}{\log x}$、(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$、(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の4つの関数について、それぞれ極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、(1) $y = x^2e^{-x}$、(2) $y = \frac{x}{\log x}$、(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$、(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) の4つの関数について、それぞれ極値を求めます。

2. 解き方の手順

関数の極値を求める一般的な手順は以下の通りです。

1. 与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。

2. $y' = 0$となる$x$の値を求めます。これを臨界点と呼びます。

3. 臨界点の前後で$y'$の符号が変化するかどうかを調べます。

* $y'$の符号が正から負に変化する場合、その点で極大となります。

* $y'$の符号が負から正に変化する場合、その点で極小となります。

4. 極値を与える$x$の値を元の関数に代入して、極値を計算します。

それでは、それぞれの関数について詳しく見ていきましょう。

**(1) $y = x^2e^{-x}$**

1. 微分:

$y' = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

2. $y' = 0$となる$x$を求める:

$x(2-x)e^{-x} = 0$

$e^{-x}$は常に正なので、$x(2-x) = 0$ より、$x = 0, 2$

3. $y'$の符号の変化を調べる:

* $x < 0$のとき、$x < 0$、$2-x > 0$、$e^{-x} > 0$なので、$y' < 0$

* $0 < x < 2$のとき、$x > 0$、$2-x > 0$、$e^{-x} > 0$なので、$y' > 0$

* $x > 2$のとき、$x > 0$、$2-x < 0$、$e^{-x} > 0$なので、$y' < 0$

したがって、$x = 0$で極小、$x = 2$で極大となります。

4. 極値を計算:

$x = 0$のとき、$y = 0^2e^{-0} = 0$ (極小値)

$x = 2$のとき、$y = 2^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ (極大値)

**(2) $y = \frac{x}{\log x}$**

1. 微分:

$y' = \frac{(\log x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

2. $y' = 0$となる$x$を求める:

$\frac{\log x - 1}{(\log x)^2} = 0$

$\log x - 1 = 0$

$\log x = 1$

$x = e$

3. $y'$の符号の変化を調べる:

$x < e$のとき (ただし、$x > 0$かつ$x \neq 1$)、$\log x < 1$なので、$\log x - 1 < 0$。$(\log x)^2$は常に正なので、$y' < 0$

$x > e$のとき、$\log x > 1$なので、$\log x - 1 > 0$。$(\log x)^2$は常に正なので、$y' > 0$

したがって、$x = e$で極小となります。

4. 極値を計算:

$x = e$のとき、$y = \frac{e}{\log e} = \frac{e}{1} = e$ (極小値)

**(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$**

1. 微分:

$y' = -\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5}$

2. $y' = 0$となる$x$を求める:

$-\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5} = 0$

$\frac{4}{(1-x)^5} = \frac{4}{x^5}$

$(1-x)^5 = x^5$

$1-x = x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

3. $y'$の符号の変化を調べる:

* $x < \frac{1}{2}$のとき、$x^5 < (1-x)^5$なので、$\frac{1}{x^5} > \frac{1}{(1-x)^5}$。したがって、$y' < 0$

* $x > \frac{1}{2}$のとき、$x^5 > (1-x)^5$なので、$\frac{1}{x^5} < \frac{1}{(1-x)^5}$。したがって、$y' > 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}$で極小となります。

4. 極値を計算:

$x = \frac{1}{2}$のとき、$y = \frac{1}{(\frac{1}{2})^4} + \frac{1}{(1-\frac{1}{2})^4} = 2^4 + 2^4 = 16 + 16 = 32$ (極小値)

**(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)**

1. 微分:

$y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$

2. $y' = 0$となる$x$を求める:

$2\cos x(1 - 2\sin x) = 0$

$\cos x = 0$ または $1 - 2\sin x = 0$

$\cos x = 0$のとき、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$1 - 2\sin x = 0$のとき、$\sin x = \frac{1}{2}$。よって、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

臨界点は$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

3. $y'$の符号の変化を調べる:

$y' = 2\cos x(1 - 2\sin x)$で検討します。

* $0 \le x < \frac{\pi}{6}$: $\cos x > 0$, $\sin x < \frac{1}{2}$, $1 - 2\sin x > 0$ なので、$y' > 0$

* $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$: $\cos x > 0$, $\sin x > \frac{1}{2}$, $1 - 2\sin x < 0$ なので、$y' < 0$

* $\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}$: $\cos x < 0$, $\sin x > \frac{1}{2}$, $1 - 2\sin x < 0$ なので、$y' > 0$

* $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$: $\cos x < 0$, $\sin x < \frac{1}{2}$, $1 - 2\sin x > 0$ なので、$y' < 0$

* $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$: $\cos x > 0$, $\sin x < -1$, $1 - 2\sin x > 0$なので、$y' > 0$

したがって、$x = \frac{\pi}{6}$で極大、$x = \frac{\pi}{2}$で極小、$x = \frac{5\pi}{6}$で極大、$x = \frac{3\pi}{2}$で極小となります。

4. 極値を計算:

* $x = \frac{\pi}{6}$: $y = 2\sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3} = 2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ (極大値)

* $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 2\sin\frac{\pi}{2} + \cos\pi = 2(1) + (-1) = 2 - 1 = 1$ (極小値)

* $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = 2\sin\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{5\pi}{3} = 2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ (極大値)

* $x = \frac{3\pi}{2}$: $y = 2\sin\frac{3\pi}{2} + \cos 3\pi = 2(-1) + (-1) = -2 - 1 = -3$ (極小値)

3. 最終的な答え

**(1) $y = x^2e^{-x}$**

* 極大値: $x = 2$のとき、$\frac{4}{e^2}$

* 極小値: $x = 0$のとき、$0$

**(2) $y = \frac{x}{\log x}$**

* 極小値: $x = e$のとき、$e$

**(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$**

* 極小値: $x = \frac{1}{2}$のとき、$32$

**(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)**

* 極大値: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$のとき、$\frac{3}{2}$

* 極小値: $x = \frac{\pi}{2}$のとき、$1$、 $x=\frac{3\pi}{2}$のとき、$-3$