$y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。

まず、$u = \sqrt{1-x^2}$ とおくと、$y = \sin^{-1} u$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ で計算できる。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算する。$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin^{-1} u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算する。$u = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ より

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$u = \sqrt{1-x^2}$ を代入して

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$x > 0$ のとき、 $|x| = x$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

まとめると、

$\frac{dy}{dx} = \begin{cases} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & (x>0) \\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & (x<0) \end{cases}$

$dy/dx = - \frac{x}{|x|} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{|x|\sqrt{1-x^2}}$