極限 $\lim_{x\to 0} \sqrt{x} \log x$ を計算します。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x\to 0} \sqrt{x} \log x$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、この極限は $0 \times (-\infty)$ の不定形です。そこで、ロピタルの定理を使うために、式を分数に変形します。

$\sqrt{x} \log x = \frac{\log x}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \log x = -\infty$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty$ であるため、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形となり、ロピタルの定理が適用できます。

ロピタルの定理を適用するには、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$

分母の微分：

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{x}}) = \frac{d}{dx} (x^{-1/2}) = -\frac{1}{2} x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\log x}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2x\sqrt{x}}} = \lim_{x\to 0} \frac{1/x}{-1/(2x\sqrt{x})} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \cdot (-2x\sqrt{x}) = \lim_{x\to 0} -2\sqrt{x}$

ここで、$x$ が 0 に近づくと、$-2\sqrt{x}$ も 0 に近づきます。

$\lim_{x \to 0} -2\sqrt{x} = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \sqrt{x} \log x = 0$