与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず $y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

次に、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left( (1+x)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln (1+x)$

したがって、

$\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\frac{\ln(1+x)}{x}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形になるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x} = 0$

よって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} y = e^{\lim_{x \to \infty} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{1}{x}} = 1$