2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるということは、2次関数 $y = x^2 + kx + 2k - 1$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあることを意味します。つまり、$x^2 + kx + 2k - 1 = 0$ が実数解を持たないということです。

判別式 $D$ が $D < 0$ であれば、実数解を持たないため条件を満たします。

判別式 $D$ は、

$D = k^2 - 4(2k - 1)$

$D = k^2 - 8k + 4$

$D < 0$ より、

$k^2 - 8k + 4 < 0$

この2次不等式を解くために、$k^2 - 8k + 4 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2}$

$k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}$

$k = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

$k = 4 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$k^2 - 8k + 4 < 0$ の解は、

$4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$