問題11は、円の中心O、円の接線PT、点Pから円上の点A, B, Cへの線分PA, PB, PCの長さが与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) 線分PTの長さ (2) 円Oの半径 (3) 三角形POCの面積

1. 問題の内容

問題11は、円の中心O、円の接線PT、点Pから円上の点A, B, Cへの線分PA, PB, PCの長さが与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) 線分PTの長さ

(2) 円Oの半径

(3) 三角形POCの面積

2. 解き方の手順

(1) 線分PTの長さを求める。

円の接線に関する性質より、$PT^2 = PA \cdot PB$が成り立ちます。

$PA = 8$, $PB = 10$を代入すると、

$PT^2 = 8 \cdot 10 = 80$

$PT = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

(2) 円Oの半径を求める。

$PC = 16$であり、$PB = 10$なので、$BC = PC - PB = 16 - 10 = 6$です。

円の直径を$d$とすると、$AB$は直径なので、$d = AB$であり、$AB = PA + PB = 8 + 10 = 18$となります。

したがって、円の直径は18なので、半径$r$は、$r = d/2 = 18/2 = 9$となります。

(3) 三角形POCの面積を求める。

円の半径$OC = 9$であり、$PC = 16$です。

点Oから線分PCに下ろした垂線の足をHとすると、三角形POCの面積は、$(1/2) \cdot PC \cdot OH$で求められます。

三角形OHCは直角三角形なので、$OH^2 + HC^2 = OC^2$が成り立ちます。

$HC = PC = 16$ではありません. ここで $PH \perp PT$ かつ $OC$ は $BC$ と $OA$ 上にあるので、$PC=PB+BC$ より, $BC=PC-PB=16-10=6$ なので, $BC=2r-AB$, 従って、$AC=PC-PA=16-8=8$となる。

三角形OATは直角三角形より、$OT \perp PT$であり、$OT = r = 9$です。

三角形OTPは直角三角形なので、$OP^2 = OT^2 + PT^2 = 9^2 + (4\sqrt{5})^2 = 81 + 80 = 161$より、$OP = \sqrt{161}$

三角形POCの面積をSとすると、$S = (1/2) \cdot PC \cdot OH$

ここで、$OC = 9$, $PC = 16$, $OP = \sqrt{161}$なので、ヘロンの公式を使って面積を計算します。

$s = (OC + PC + OP)/2 = (9 + 16 + \sqrt{161})/2 = (25 + \sqrt{161})/2$

$S = \sqrt{s(s-OC)(s-PC)(s-OP)} = \sqrt{s(s-9)(s-16)(s-\sqrt{161})}$

ヘロンの公式は複雑になるので、別の方法を考えます。

点OからPCに垂線を下ろした足をHとする。

三角形OPHと三角形OHCに注目すると、

$OP^2 = OH^2 + PH^2$

$OC^2 = OH^2 + HC^2$

$OC = 9$, $PC = 16$, $OP = \sqrt{161}$

$161 = OH^2 + PH^2$

$81 = OH^2 + HC^2$

$PH + HC = 16$

$PH = 16 - HC$

$161 = OH^2 + (16 - HC)^2$

$161 = OH^2 + 256 - 32HC + HC^2$

$161 = 81 - HC^2 + 256 - 32HC + HC^2$

$161 = 337 - 32HC$

$32HC = 337 - 161 = 176$

$HC = 176/32 = 11/2 = 5.5$

$OH^2 = 81 - HC^2 = 81 - (11/2)^2 = 81 - 121/4 = (324 - 121)/4 = 203/4$

$OH = \sqrt{203/4} = \sqrt{203}/2$

面積S = $(1/2) PC \cdot OH = (1/2) \cdot 16 \cdot \sqrt{203}/2 = 4\sqrt{203}$

3. 最終的な答え

(1) 線分PTの長さ: $4\sqrt{5}$

(2) 円Oの半径: 9

(3) 三角形POCの面積: $4\sqrt{203}$