問題11は、円とその接線に関する幾何学の問題です。 円Oの外部の点Pから円に接線PTを引き、点A, B, Cが円周上にあり、PA = 8, PB = 10, PC = 16であるとき、以下の3つの問いに答えます。 (1) 線分PTの長さを求めよ。 (2) 円Oの半径を求めよ。 (3) △POCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

問題11は、円とその接線に関する幾何学の問題です。

円Oの外部の点Pから円に接線PTを引き、点A, B, Cが円周上にあり、PA = 8, PB = 10, PC = 16であるとき、以下の3つの問いに答えます。

(1) 線分PTの長さを求めよ。

(2) 円Oの半径を求めよ。

(3) △POCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、PT^2 = PA * PCが成り立つので、PTの長さを計算します。

PT^2 = PA * PB と PT^2 = PC * PA のどちかが使えそうです。今回はPT^2 = PA * PBを使います。

$PT^2 = PA \cdot PB = 8 \cdot 10 = 80$

$PT = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

(2) 円の半径を求めます。まずは、円の中心Oから接点Tに線を引きましょう。

すると、PTは接線なので、∠PTO = 90°になります。

線分OAを引き、OA = rとおきます。

次に、POの長さを求めます。

PA = 8なので、PO = PA + AO = 8 + rとなります。

△PTOにおいて、三平方の定理より、PO^2 = PT^2 + TO^2が成り立ちます。

$(8+r)^2 = (4\sqrt{5})^2 + r^2$

$64 + 16r + r^2 = 80 + r^2$

$16r = 16$

$r = 1$

(3) △POCの面積を求めます。

△POCの面積は、1/2 * PC * OHで求められます。(OHはOからPCへの垂線)

△PTO∽△CHOより、面積を求めるのに必要な長さはTO = 1 , PO = 9 , PC = 16, 角度∠POCとなります。

しかし、この解法ではうまくいきません。

別の解法を考えましょう。△POC = △POA + △AOCで考えると、線分の長さの情報から、高さが分かりません。

線分OCの長さを底辺と考えると、点Pから線分OCへの垂線の長さを求める必要があります。これも難しいです。

点Cから直線POへ垂線を下ろし、交点をIとします。△PICの面積を求め、PIを求める必要があります。これも計算が大変そうです。

線分PC = 16であり、底辺と考えると、OからPCへ垂線を下ろし、その長さを高さとする必要があります。

△PTOにおいて、PT = $4\sqrt{5}$ 、TO = 1 、 PO = 9です。正弦定理から、$sin∠TPO = \frac{1}{9}$です。

PO = PA + AO = 8 + r = 9。

△POAの面積は 1/2 * PA * OA * sin∠PAO。

△POCの面積は 1/2 * PC * h (OからPCへの垂線の長さ)で求めます。

PCは固定で16なので、hを求めたい。

△POH∽△PTOで、PO:PT = PC:PHとなるはず。

△POCの面積を求めるには、底辺をPCとしたときの高さを知る必要があります。

CからPOへ垂線を下ろした交点をDとします。

△CDP∽△PTOとなり、CD/TO=PC/POとなるため、CD = 16/9

POを底辺とすると、高さはCDなので、面積は、1/2 * 9 * 16/9 = 8。

しかし、それでは解法が複雑すぎるので、△POCではなく、△PCA + △AOCの面積を求めることにします。

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{5}$

(2) 1

(3) 8