座標平面上に3点 A(1,0), B(0,3), C(4,1) を通る円 K がある。 (1) 円 K の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。点 A, B, C を通るという条件から a, b, c を求め、円 K の方程式を求める。 (2) 線分 AC の長さを求め、線分 AC を直径とする円 L の点 P(x, y) について成り立つ関係式を求める。 (3) 円 K の方程式を求める。 (4) 直線 AB の方程式を求め、円 K の中心の座標と半径を求める。 (5) 不等式で表された領域における $2x+y$ の最小値と最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(1,0), B(0,3), C(4,1) を通る円 K がある。

(1) 円 K の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。点 A, B, C を通るという条件から a, b, c を求め、円 K の方程式を求める。

(2) 線分 AC の長さを求め、線分 AC を直径とする円 L の点 P(x, y) について成り立つ関係式を求める。

(3) 円 K の方程式を求める。

(4) 直線 AB の方程式を求め、円 K の中心の座標と半径を求める。

(5) 不等式で表された領域における $2x+y$ の最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 A(1,0) を通るので、方程式に代入して $1 + a + c = 0$。

点 B(0,3) を通るので、方程式に代入して $9 + 3b + c = 0$。

点 C(4,1) を通るので、方程式に代入して $16 + 1 + 4a + b + c = 0$。

これらを連立方程式として解き、a, b, c を求める。

$17 + 4a + b + c = 0$。

(2)

線分 AC の長さを求める。$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。

線分 AC を直径とする円 L の点 P(x, y) について、$AC^2 = PA^2 + PC^2$ が成り立つ。

$PA^2 = (x-1)^2 + y^2$

$PC^2 = (x-4)^2 + (y-1)^2$

$AC^2 = 10$

よって、$(x-1)^2 + y^2 + (x-4)^2 + (y-1)^2 = 10$

整理すると、$x^2 - 5x + y^2 - y + 3 = 0$。

(3)

直線 AC の方程式は $x + 3y - 1 = 0$ であり、円 L と直線 AC の二つの共有点を通る円の方程式は、実数 k を用いて、$(x^2 - 5x + y^2 - y + 3) + k(x + 3y - 1) = 0$ と表せる。

これが円 K の方程式となるためには、$x^2 + y^2$ の係数が1である必要がある。また、$x$ と $y$ の一次の項が存在する必要がある。

円 K の方程式は、$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ の形である。

(4)

直線 AB の方程式は $3x + y = 3$ である。線分 AB の傾きは -3 であり、円の中心と結ぶ線は傾き 1/3 である。

円の中心と直線 AB は直交する。$\angle ACB = 90^\circ$ であるから、線分 AB は円 K の直径の一つである。

(5)

与えられた領域 D は、

$y \ge 3x + \text{ツ}$

$x^2 + y^2 - \text{テ}x + \text{ト}y + \text{ナ} \le 0$ で表される。

$2x+y$ の最小値は $\text{ニ}$ であり、このとき $x = \text{ヌ}$, $y = \text{ネ}$ である。

また、$2x+y$ の最大値は $\text{ノ}$ であり、このとき $x = \text{ハ}$, $y = \text{ヒ}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

ア：1

イ：9

ウ：3

エオ：17

カ：4

(2)

キク：$\sqrt{10}$

ケ：②

(3)

サ：$5x$

シ：$y$

ス：$3$

セ：$x$

(4)

タ：$\angle ACB$

チ：AB

(5)

ツ：$3$

テ：$5$

ト：$-1$

ナ：$0$