座標平面上に3点 A(1, 0), B(0, 3), C(4, 1) を通る円 K がある。 (i) 円 K の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、A, B, C の座標を代入して $a, b, c$ を求める。 (ii) 線分 AC を直径とする円 L の方程式を求める。 (iii) 直線 AB の方程式を求め、$\angle ACB = 90^\circ$ であることを示し、線分 AB が円 K の直径であることを示す。 そして、円 K の方程式を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 A(1, 0), B(0, 3), C(4, 1) を通る円 K がある。

(i) 円 K の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、A, B, C の座標を代入して $a, b, c$ を求める。

(ii) 線分 AC を直径とする円 L の方程式を求める。

(iii) 直線 AB の方程式を求め、$\angle ACB = 90^\circ$ であることを示し、線分 AB が円 K の直径であることを示す。

そして、円 K の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(i) 円 K の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

点 A(1, 0) を通ることから、

$1^2 + 0^2 + a(1) + b(0) + c = 0$

$1 + a + c = 0$ … (1)

点 B(0, 3) を通ることから、

$0^2 + 3^2 + a(0) + b(3) + c = 0$

$9 + 3b + c = 0$ … (2)

点 C(4, 1) を通ることから、

$4^2 + 1^2 + a(4) + b(1) + c = 0$

$17 + 4a + b + c = 0$ … (3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。

(1)より $c = -a - 1$

(2)に代入して $9 + 3b - a - 1 = 0$ $\implies$ $a = 3b + 8$

(3)に代入して $17 + 4(3b + 8) + b - a - 1 = 0$

$17 + 12b + 32 + b - (3b + 8) - 1 = 0$

$10b + 40 = 0$

$b = -4$

$a = 3(-4) + 8 = -4$

$c = -(-4) - 1 = 3$

よって、円 K の方程式は $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 = 0$

(ii) A(1, 0), C(4, 1) なので、線分 AC の長さは $\sqrt{(4-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

線分 AC を直径とする円 L 上の点 P(x, y) について、$AP^2 + CP^2 = AC^2$ が成り立つ。

よって、$PA^2 + PC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$

したがって、円 L の方程式は $(x-1)^2 + (y-0)^2 + (x-4)^2 + (y-1)^2 = 10$

円 L の方程式は $(x-1)(x-4) + (y-0)(y-1) = 0$

$x^2 - 5x + 4 + y^2 - y = 0$

$x^2 + y^2 - 5x - y + 4 = 0$

(iii) 直線 AB の方程式は $\frac{y - 0}{x - 1} = \frac{3 - 0}{0 - 1}$

$y = -3(x - 1) = -3x + 3$

$y = -3x + 3$

A(1, 0), B(0, 3), C(4, 1) であり、$\angle ACB = 90^\circ$ であるから、線分 AB は円 K の直径の一つである。

直線 AC の傾きは $\frac{1 - 0}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

直線 BC の傾きは $\frac{3 - 1}{0 - 4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

(i), (ii), (iii) のいずれの考え方でも円 K の方程式は $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 = 0$ と求められる。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 9

ウ: 3

エオ: 17

カ: 4

キク: 10

ケ: 5

コ: 5

サ: 4

シ: -1

スセ: -3

ソ: 3

タ: 0

チ: 0

ツ: 4

テ: 4

ト: 3