空間座標上に4点A(1, 1, 2), B(2, 0, 1), C(1, 1, 0), D(3, 4, 6) がある。3点A, B, Cの定める平面に関して点Dと対称な点Eの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

空間座標上に4点A(1, 1, 2), B(2, 0, 1), C(1, 1, 0), D(3, 4, 6) がある。3点A, B, Cの定める平面に関して点Dと対称な点Eの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平面ABCの法線ベクトルを求める。

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 0-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 1-1 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

平面ABCの法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で求められる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-2) - (-1)(0) \\ (-1)(0) - (1)(-2) \\ (1)(0) - (-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ としてもよい。

(2) 平面ABCの方程式を求める。

平面ABCの方程式は、$ax + by + cz = d$ の形で表せる。法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、$x + y = d$となる。

点A(1, 1, 2) は平面上にあるので、$1 + 1 = d$ より、$d = 2$。

よって、平面ABCの方程式は、$x + y = 2$となる。

(3) 直線DEの方程式を求める。

直線DEは、点D(3, 4, 6)を通り、法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に平行な直線である。

直線DEの方程式は、$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と表せる。

つまり、$x = 3 + t$, $y = 4 + t$, $z = 6$。

(4) 直線DEと平面ABCの交点Mを求める。

交点Mは、直線DE上にあるので、M(3+t, 4+t, 6)と表せる。

また、交点Mは、平面ABC上にあるので、$(3+t) + (4+t) = 2$を満たす。

$7 + 2t = 2$ より、$2t = -5$、したがって、$t = -\frac{5}{2}$。

交点Mの座標は、$(3-\frac{5}{2}, 4-\frac{5}{2}, 6) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 6)$。

(5) 点Eの座標を求める。

点Mは線分DEの中点なので、

$\frac{3 + x_E}{2} = \frac{1}{2}$, $\frac{4 + y_E}{2} = \frac{3}{2}$, $\frac{6 + z_E}{2} = 6$

$3 + x_E = 1$, $4 + y_E = 3$, $6 + z_E = 12$

$x_E = -2$, $y_E = -1$, $z_E = 6$

よって、点Eの座標は、(-2, -1, 6)。

3. 最終的な答え

E(-2, -1, 6)