四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC=16cm, DA=12cm, CE=DE=4cm, $\triangle EDC$ の面積は6cm²である。 (1) $\triangle ACD$ の面積を求めよ。 (2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC=16cm, DA=12cm, CE=DE=4cm, $\triangle EDC$ の面積は6cm²である。

(1) $\triangle ACD$ の面積を求めよ。

(2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle EDC$ と $\triangle EAC$ について、底辺をそれぞれDE, AEとみると、高さは共通である。

AE = AD + DE = 12 + 4 = 16 cm

よって、面積比は底辺の比に等しいので、

$\triangle EDC : \triangle EAC = DE : AE = 4 : 16 = 1 : 4$

したがって、$\triangle EAC = 4 \times \triangle EDC = 4 \times 6 = 24$ cm²

$\triangle ACD = \triangle EAC - \triangle EDC = 24 - 6 = 18$ cm²

(2) 点Dを通りACに平行な直線とBEとの交点をFとする。

$\triangle EDF$ と $\triangle ECA$ は相似であり、相似比はED : EA = 4 : 16 = 1 : 4。

よって、EF : EC = 1 : 4 なので、EC = 4 cmより、EF = 1 cm。

したがって、FC = EC - EF = 4 - 1 = 3 cm。

(3) $\triangle EDC$ と $\triangle EBA$ について、底辺をそれぞれDE, AEとみると、高さは共通である。

EC = 4 cm, BC = 16 cm なので、EB = EC + BC = 4 + 16 = 20 cm。

$\triangle EDC$ と $\triangle EBA$ は相似であり、相似比はDE : AE = 4 : 16 = 1 : 4。

$\triangle EDC : \triangle EBA = 1^2 : 4^2 = 1 : 16$

$\triangle EBA = 16 \times \triangle EDC = 16 \times 6 = 96$ cm²

四角形ABCD = $\triangle EBA - \triangle EDC = 96 - 6 = 90$ cm²

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ACD$ の面積は 18 cm²

(2) 線分CFの長さは 3 cm

(3) 四角形ABCDの面積は 90 cm²