等脚台形ABCDがあり、AB = AD = CD = 5cm、BC = 13cmである。 (1) 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をEとするとき、線分BE, AEの長さを求めよ。また、等脚台形ABCDの面積を求めよ。 (2) 対角線AC上に、AP = $\sqrt{10}$ cmとなる点Pをとるとき、$\triangle$PBCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

等脚台形ABCDがあり、AB = AD = CD = 5cm、BC = 13cmである。

(1) 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をEとするとき、線分BE, AEの長さを求めよ。また、等脚台形ABCDの面積を求めよ。

(2) 対角線AC上に、AP = $\sqrt{10}$ cmとなる点Pをとるとき、$\triangle$PBCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等脚台形なので、BE = $\frac{BC - AD}{2}$となる。

よって、BE = $\frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ cm。

$\triangle$ABEにおいて、三平方の定理より、$AE^2 + BE^2 = AB^2$

$AE^2 + 4^2 = 5^2$

$AE^2 + 16 = 25$

$AE^2 = 9$

AE = 3 cm (AE>0)

等脚台形ABCDの面積は、$\frac{(AD + BC) \times AE}{2}$で求められる。

$\frac{(5 + 13) \times 3}{2} = \frac{18 \times 3}{2} = 9 \times 3 = 27$ cm$^2$

(2)

$\triangle$ABEと$\triangle$ACEは相似である。相似比はAB:ACとなる。まずACを求める。

$AC^2 = AE^2 + EC^2$

$EC = BC - BE = 13-4 = 9$

$AC^2 = 3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$

$AC = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ cm (AC>0)

AC : AP = $3\sqrt{10} : \sqrt{10} = 3 : 1$となる。

よって、AP : PC = $1 : 2$となる。

AC = $3\sqrt{10}$なので、PC = $\frac{2}{3}AC = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

$\triangle$ABCの面積を求める。

$\triangle$ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AE = \frac{1}{2} \times 13 \times 3 = \frac{39}{2}$

$\triangle$PBCの面積を求める。

$\triangle$PBCの面積は、$\frac{PC}{AC} \times \triangle$ABCで求められる。

$\frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{10}} \times \frac{39}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{39}{2} = \frac{39}{3} = 13$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) BE = 4 cm、AE = 3 cm、等脚台形ABCDの面積は27 cm$^2$

(2) $\triangle$PBCの面積は13 cm$^2$