画像には「平行四辺形の面積のベクトルの公式の求め方」と書かれています。つまり、平行四辺形の面積をベクトルを使って求める公式とその導出方法を答える必要があります。

1. 問題の内容

画像には「平行四辺形の面積のベクトルの公式の求め方」と書かれています。つまり、平行四辺形の面積をベクトルを使って求める公式とその導出方法を答える必要があります。

2. 解き方の手順

平行四辺形を構成する2つのベクトルを $\vec{a}$、$\vec{b}$ とします。

平行四辺形の面積は、これらのベクトルが作る平行四辺形の底辺の長さを $|\vec{a}|$、高さを $|\vec{b}|\sin\theta$ (ただし$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角)とすると、

面積 $= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

となります。

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$ なので、

面積 $= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$

また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ より、$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ なので、

面積 $= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1 - \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)^2}$

$= |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1 - \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}}$

$= \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

さらに、$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$とすると、

$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2$, $|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ なので、

面積 $= \sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2}$

$= \sqrt{a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 - (a_1^2b_1^2 + 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_2^2)}$

$= \sqrt{a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2}$

$= \sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2}$

$= |a_1b_2 - a_2b_1|$

これは、ベクトルの外積の絶対値に等しいです。すなわち、

面積$=|\vec{a} \times \vec{b}|$

3. 最終的な答え

$|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}=|a_1b_2 - a_2b_1| = |\vec{a} \times \vec{b}|$