円周上に点A, B, C, D, Eがある。ACとBDの交点をF、ABとDCの延長線の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$である。 (1) $\angle x$ (すなわち$\angle G$)の大きさを求める。 (2) 点Eが弧AD上を動くとき、 (ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。 (イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, D, Eがある。ACとBDの交点をF、ABとDCの延長線の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$である。

(1) $\angle x$ (すなわち$\angle G$)の大きさを求める。

(2) 点Eが弧AD上を動くとき、

(ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

(イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle DBC = \angle BDC = 25^\circ$である。（$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$でも良い）。

$\angle AFD = 100^\circ$であるから、$\angle BFA = 100^\circ$である。

三角形BDFにおいて、$\angle DBF + \angle BFD + \angle FDB = 180^\circ$であるから、

$\angle DBF + 100^\circ + 25^\circ = 180^\circ$より、$\angle DBF = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$である。

したがって、$\angle ABC = \angle ABF = 55^\circ$である。

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$である。

$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$より、$\angle CAD = \angle CBD = 25^\circ$である。

よって、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$である。

$\angle BCD = \angle BDA = \angle BDC + \angle CDA = 25^\circ + \angle CDA$

ここで、四角形ABCDの内角の和は360度なので、$\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^\circ$より、

$55^\circ + \angle BCD + \angle CDA + 50^\circ = 360^\circ$である。

ここで$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$で、$\angle ABD = \angle ACD$であるから、

$\angle ABC + \angle ADC = \angle ABC + \angle ADE + \angle EDC = 180$

$\angle BCD + \angle BAD = 180$

$\angle BAC + \angle CAD = 25 + 25 = 50$

$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$

$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle ADB = \angle AFD - \angle DAF = 100 - \angle DAF$

$\angle ADB = 25^\circ$となる。

$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

よって$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$より、$\angle BAC + \angle BDC = 50^\circ$なので、

$\angle DAF = 80 - 25 = 55$

$\angle AGC = x$とおくと、$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$より

$\angle G = 180^\circ - (55+25) - x$

また、$\angle ABG + \angle BCG = 180 - G$

$x + 55+105 = 50$

$x=50^\circ$

$\angle ACD = \angle ABD = 55$

$\angle G = 35$

$\angle ABG = 180 - 55 = 125$

$\angle BCG = 180 -25 = 155$

55 - x =

(2)

(ア) 四角形ACDEがAE//CDの台形となるとき

$\angle CAE = \angle ACD$である。

$\angle AED + \angle CDE = 180$

(イ) 四角形ACDEがAC//EDの台形となるとき

$\angle CAE = \angle EDA$

3. 最終的な答え

(1) $\angle x = 50^\circ$

(2) (ア)

(イ)