問題1は、与えられた点に力が作用する場合の原点に関する力のモーメントを求める問題です。問題2は、与えられた質点の運動について、原点に関する角運動量を求める問題です。

応用数学ベクトル外積力のモーメント角運動量力学
2025/7/17

1. 問題の内容

問題1は、与えられた点に力が作用する場合の原点に関する力のモーメントを求める問題です。問題2は、与えられた質点の運動について、原点に関する角運動量を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1
a. 力のモーメントは、位置ベクトルと力の外積で計算されます。
点(3, 0, 0)にy軸方向の大きさ2の力が作用する場合、位置ベクトルは r1=(3,0,0)\vec{r_1} = (3, 0, 0)、力は F1=(0,2,0)\vec{F_1} = (0, 2, 0)です。力のモーメント τ1\vec{\tau_1}τ1=r1×F1\vec{\tau_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} で計算します。
点(0, 2, 0)にx軸方向の大きさ4の力が作用する場合、位置ベクトルは r2=(0,2,0)\vec{r_2} = (0, 2, 0)、力は F2=(4,0,0)\vec{F_2} = (4, 0, 0)です。力のモーメント τ2\vec{\tau_2}τ2=r2×F2\vec{\tau_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} で計算します。
全体の力のモーメントは τ=τ1+τ2\vec{\tau} = \vec{\tau_1} + \vec{\tau_2} で計算します。
b. 点(2, 0, -1)に力 F=(1,2,0)\vec{F} = (1, -2, 0) が作用する場合、位置ベクトルは r=(2,0,1)\vec{r} = (2, 0, -1)です。力のモーメント τ\vec{\tau}τ=r×F\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} で計算します。
問題2
a. 角運動量は、位置ベクトルと運動量の外積で計算されます。L=r×p=r×(mv)\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})
位置ベクトル r(t)=(t,12t2,0)\vec{r}(t) = (t, -\frac{1}{2}t^2, 0) です。速度ベクトル v(t)\vec{v}(t)r(t)\vec{r}(t) の時間微分で計算します。v(t)=dr(t)dt\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
角運動量は L(t)=r(t)×(mv(t))\vec{L}(t) = \vec{r}(t) \times (m\vec{v}(t)) で計算します。
b. 等速円運動の場合、位置ベクトルは r(t)=(Rcos(ωt),Rsin(ωt),0)\vec{r}(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t), 0) です。速度ベクトル v(t)\vec{v}(t)r(t)\vec{r}(t) の時間微分で計算します。v(t)=dr(t)dt\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
角運動量は L(t)=r(t)×(mv(t))\vec{L}(t) = \vec{r}(t) \times (m\vec{v}(t)) で計算します。
計算:
問題1
a.
τ1=(3,0,0)×(0,2,0)=(0,0,6)\vec{\tau_1} = (3, 0, 0) \times (0, 2, 0) = (0, 0, 6)
τ2=(0,2,0)×(4,0,0)=(0,0,8)\vec{\tau_2} = (0, 2, 0) \times (4, 0, 0) = (0, 0, -8)
τ=(0,0,6)+(0,0,8)=(0,0,2)\vec{\tau} = (0, 0, 6) + (0, 0, -8) = (0, 0, -2)
b.
τ=(2,0,1)×(1,2,0)=(2,1,4)\vec{\tau} = (2, 0, -1) \times (1, -2, 0) = (-2, -1, -4)
問題2
a.
v(t)=(1,t,0)\vec{v}(t) = (1, -t, 0)
L(t)=(t,12t2,0)×(m,mt,0)=(0,0,mt2(12mt2))=(0,0,12mt2)\vec{L}(t) = (t, -\frac{1}{2}t^2, 0) \times (m, -mt, 0) = (0, 0, mt^2 - (-\frac{1}{2}mt^2)) = (0, 0, \frac{1}{2}mt^2)
b.
r(t)=(Rcos(ωt),Rsin(ωt),0)\vec{r}(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t), 0)
v(t)=(Rωsin(ωt),Rωcos(ωt),0)\vec{v}(t) = (-R\omega\sin(\omega t), R\omega\cos(\omega t), 0)
L(t)=(Rcos(ωt),Rsin(ωt),0)×(mRωsin(ωt),mRωcos(ωt),0)=(0,0,mR2ωcos2(ωt)+mR2ωsin2(ωt))=(0,0,mR2ω)\vec{L}(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t), 0) \times (-mR\omega\sin(\omega t), mR\omega\cos(\omega t), 0) = (0, 0, mR^2\omega\cos^2(\omega t) + mR^2\omega\sin^2(\omega t)) = (0, 0, mR^2\omega)

3. 最終的な答え

問題1
a. (0,0,2)(0, 0, -2)
b. (2,1,4)(-2, -1, -4)
問題2
a. (0,0,12mt2)(0, 0, \frac{1}{2}mt^2)
b. (0,0,mR2ω)(0, 0, mR^2\omega)

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