$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1)$ を計算せよ。代数学式の計算平方根展開2025/7/171. 問題の内容(2+3+1)(2−3+1)(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1)(2+3+1)(2−3+1) を計算せよ。2. 解き方の手順まず、式を整理するために、(2+1)(\sqrt{2} + 1)(2+1) を AAA とおきます。すると、与えられた式は (A+3)(A−3)(A + \sqrt{3})(A - \sqrt{3})(A+3)(A−3) となります。これは、和と差の積の公式 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2(a+b)(a−b)=a2−b2 を利用できます。したがって、 (A+3)(A−3)=A2−(3)2=A2−3(A + \sqrt{3})(A - \sqrt{3}) = A^2 - (\sqrt{3})^2 = A^2 - 3(A+3)(A−3)=A2−(3)2=A2−3 となります。A=2+1A = \sqrt{2} + 1A=2+1 を代入すると、(2+1)2−3(\sqrt{2} + 1)^2 - 3(2+1)2−3 となります。(2+1)2(\sqrt{2} + 1)^2(2+1)2 を展開すると、(2)2+2(2)(1)+12=2+22+1=3+22(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}(2)2+2(2)(1)+12=2+22+1=3+22 となります。したがって、3+22−3=223 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2}3+22−3=22 となります。3. 最終的な答え222\sqrt{2}22