$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1)$ を計算せよ。

代数学式の計算平方根展開
2025/7/17

1. 問題の内容

(2+3+1)(23+1)(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1) を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理するために、(2+1)(\sqrt{2} + 1)AA とおきます。
すると、与えられた式は (A+3)(A3)(A + \sqrt{3})(A - \sqrt{3}) となります。
これは、和と差の積の公式 (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 を利用できます。
したがって、 (A+3)(A3)=A2(3)2=A23(A + \sqrt{3})(A - \sqrt{3}) = A^2 - (\sqrt{3})^2 = A^2 - 3 となります。
A=2+1A = \sqrt{2} + 1 を代入すると、(2+1)23(\sqrt{2} + 1)^2 - 3 となります。
(2+1)2(\sqrt{2} + 1)^2 を展開すると、(2)2+2(2)(1)+12=2+22+1=3+22(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} となります。
したがって、3+223=223 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} となります。

3. 最終的な答え

222\sqrt{2}

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