与えられた分数の分母を有理化する問題です。 与えられた式は $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

与えられた式は $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数 $\sqrt{3}+1$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

分子は $1 \cdot (\sqrt{3}+1) = \sqrt{3} + 1$ となります。

分母は $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$ となり、これは差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ を使って計算できます。

$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

よって、

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$