## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

この問題は、3つの独立した物理の問題から構成されています。

1. 質量 $m$ の質点に重力 $mg$ と粘性抵抗力 $bv$ が働くときの運動方程式を立て、成分表示すること。

2. 質量 $m_A$ の物体Aの上に質量 $m_B$ の物体Bが置かれており、AとBの間の静止摩擦係数が $\mu$ である。物体Bが物体Aから滑り落ちないように物体Aを力 $f$ で水平方向に引っ張る際の、力 $f$ の最大値を求めること。

3. エレベータ内に体重計があり、その上に質量 $m$ の人が乗っている。エレベータの加速度が $a$ （上向き正）であるとき、体重計に表示される値を求めること。重力加速度の大きさは $g$ とする。

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2. 解き方の手順

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1. 運動方程式**

* **運動方程式の立式:**

ニュートンの運動方程式は、$F = ma$ です。ここで、$F$ は質点に働く力の合力、$m$ は質量、$a$ は加速度です。

$x$ 軸方向には粘性抵抗力 $-bv_x$ が働き、$y$ 軸方向には重力 $-mg$ が働きます。

したがって、$x$ 軸方向と $y$ 軸方向の運動方程式はそれぞれ次のようになります。

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -bv_x$

$m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg -bv_y$

* **成分表示:**

加速度を $a_x$ , $a_y$ とすると、上記の運動方程式は次のように書き換えられます。

$m a_x = -bv_x$

$m a_y = -mg -bv_y$

さらに、$v_x = \frac{dx}{dt}$ , $v_y = \frac{dy}{dt}$ , $a_x = \frac{d^2x}{dt^2}$ , $a_y = \frac{d^2y}{dt^2}$ を代入しても良いです。

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2. 力 $f$ の上限**

* **Bに働く力の考察:**

物体Bは、重力 $m_Bg$ 、垂直抗力 $N$ 、静止摩擦力 $F_f$ を受けます。物体BがAからずれないためには、$F_f$ が最大静止摩擦力 $\mu N$ を超えない必要があります。

また、Bは鉛直方向に釣り合っているので、$N = m_B g$ です。

* **Aに働く力の考察:**

物体Aは、重力 $m_Ag$ 、垂直抗力 $N'$ 、物体Bからの垂直抗力 $-N$ 、物体Bからの静止摩擦力 $-F_f$、外力 $f$ を受けます。床とAの間には摩擦がないので、水平方向には外力と静止摩擦力のみが働きます。

* **全体の運動:**

物体AとBが一体となって運動すると考えます。AとBの加速度を $a$ とすると、運動方程式は $(m_A + m_B)a = f$ となります。

* **Bの運動:**

物体Bに働く水平方向の力は静止摩擦力 $F_f$ のみなので、$F_f = m_B a$ となります。

* **力の最大値:**

物体Bが滑り出さない条件は、$F_f \leq \mu N = \mu m_B g$ であることです。

$F_f = m_B a$ と $(m_A + m_B)a = f$ より、$a = \frac{f}{m_A + m_B}$ なので、$m_B \frac{f}{m_A + m_B} \leq \mu m_B g$ となります。

これを $f$ について解くと、$f \leq \mu (m_A + m_B) g$ となります。

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3. 体重計の表示値**

* **人に働く力の考察:**

人は、重力 $mg$ と体重計からの垂直抗力 $R$ を受けます。体重計の表示値は、この垂直抗力 $R$ に対応します。

* **運動方程式:**

エレベータに乗っている人の運動方程式は、$ma = R - mg$ となります。

* **体重計の表示値:**

この式から、$R = m(g + a)$ となります。したがって、体重計に表示される値は $m(g + a)$ となります。

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3. 最終的な答え

1. 運動方程式:

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -bv_x$

$m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg -bv_y$

成分表示:

$m a_x = -bv_x$

$m a_y = -mg -bv_y$

2. 力 $f$ の上限:

$f \leq \mu (m_A + m_B) g$

3. 体重計の表示値:

$m(g + a)$