2隻の船 A, B があり、船 B は船 A から西に 50km の位置にいる。船 A は北に、船 B は北東に向かって一定の速さで航行しており、船 A の速さは時速 20km である。 (1) 船 B も時速 20km で航行しているとき、船 B が船 A から見てちょうど南東方向に見えるのは何時間後か求める。 (2) 衝突を回避するために、2 隻の船 A, B が衝突する船 B の速さを事前に求めたい。

1. 問題の内容

2隻の船 A, B があり、船 B は船 A から西に 50km の位置にいる。船 A は北に、船 B は北東に向かって一定の速さで航行しており、船 A の速さは時速 20km である。

(1) 船 B も時速 20km で航行しているとき、船 B が船 A から見てちょうど南東方向に見えるのは何時間後か求める。

(2) 衝突を回避するために、2 隻の船 A, B が衝突する船 B の速さを事前に求めたい。

2. 解き方の手順

(1) 座標平面で考える。$x$ 軸の正の方向を東、$y$ 軸の正の方向を北にとり、船 B が船 A から見て西に 50km の位置にあるときの B の位置を原点 O とし、1km を距離 1 とする座標平面を考える。$t$ 時間後の 2 隻の船の位置を A, B とする。

$OA = (0, 20t)$

$OB = (\frac{20t}{\sqrt{2}}, \frac{20t}{\sqrt{2}}) = (10\sqrt{2}t, 10\sqrt{2}t)$

船 B が船 A から見てちょうど南東方向に見えるとき、$AB = k(1, -1)$ ($k > 0$) と表される。

$AB = OB - OA = (10\sqrt{2}t, 10\sqrt{2}t) - (0, 20t) = (10\sqrt{2}t, 10\sqrt{2}t - 20t)$

$(10\sqrt{2}t, 10\sqrt{2}t - 20t) = (k, -k)$

$10\sqrt{2}t = k$

$10\sqrt{2}t - 20t = -k$

$10\sqrt{2}t - 20t = -10\sqrt{2}t$

$20\sqrt{2}t = 20t$

$t = \frac{20}{20\sqrt{2} - 20}t = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

よって、$t = \frac{20}{\sqrt{2}-1}$

$t(\sqrt{2}-1)=1$

$20t-20\sqrt{2}t=-20t$

$t = \frac{20}{20-10\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$

$10\sqrt{2}t = k$

$10\sqrt{2}t - 20t = -k$

$20\sqrt{2}t - 20t = 0$

$20t-20t = -10\sqrt{2}t+10\sqrt{2}t$

$t = \frac{2}{\sqrt{2}}$

$t=\sqrt{2}+1$

$10 \sqrt{2} t = k$

$10 \sqrt{2} t - 20 t = -k$

$20 \sqrt{2} t = 20 t$

$t = 0$

$10\sqrt{2}t = k$

$10\sqrt{2}t - 20t = -10 \sqrt{2}t$

$t=\sqrt{2}+1 = \frac{\sqrt{2}+1}{1} = (\sqrt{2}+1)$

$k=10\sqrt{2} \sqrt{2}$

$k=\frac{20\sqrt{2}}{2+1}=\sqrt{2}+1$

$= 2+1 =3= 10\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)-20(1+\sqrt{2})$

$1 =k(\sqrt{2}t-2t- = -\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

$1=-1/10$

$10\sqrt{2}+ \alpha, 2.4=\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + 1$ 時間後