質量 $m$ の質点が、ばね定数 $k$ のばねにつながれて水平面上に置かれている。質点に働く力はばねの復元力のみであると仮定し、水平方向の直線運動を考える。 a. 運動方程式を立てる。 b. 運動方程式の一般解が $x = A \cos(\omega t + \phi)$ の形で与えられることを、方程式に代入して示す。 c. 初期条件 $x(0) = x_0$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

## 問題 1

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、ばね定数 $k$ のばねにつながれて水平面上に置かれている。質点に働く力はばねの復元力のみであると仮定し、水平方向の直線運動を考える。

a. 運動方程式を立てる。

b. 運動方程式の一般解が $x = A \cos(\omega t + \phi)$ の形で与えられることを、方程式に代入して示す。

c. 初期条件 $x(0) = x_0$, $v(0) = 0$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

a. 運動方程式:

ばねの復元力は $F = -kx$ であり、ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、

$$ma = -kx$$

したがって、運動方程式は

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

b. 一般解の代入:

$x = A \cos(\omega t + \phi)$ を運動方程式に代入する。まず、時間微分を計算する。

$$\frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$$

これを運動方程式に代入すると、

$$m(-A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)) = -k(A \cos(\omega t + \phi))$$

$$-m\omega^2 A \cos(\omega t + \phi) = -kA \cos(\omega t + \phi)$$

両辺を $A \cos(\omega t + \phi)$ で割ると、

$$m\omega^2 = k$$

$$\omega^2 = \frac{k}{m}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

したがって、$x = A \cos(\omega t + \phi)$ は運動方程式の解である。

c. 初期条件の適用:

初期条件 $x(0) = x_0$ と $v(0) = 0$ を用いて、解を決定する。

$$x(0) = A \cos(\phi) = x_0$$

$$v(0) = -A\omega \sin(\phi) = 0$$

$A \neq 0$ なので、$\sin(\phi) = 0$ となる。よって、$\phi = 0$ または $\phi = \pi$ である。

$\phi = 0$ のとき、$A = x_0$ となり、

$\phi = \pi$ のとき、$A = -x_0$ となる。

$A = x_0$ かつ $\phi = 0$ の場合、

$$x(t) = x_0 \cos(\omega t) = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$$

3. 最終的な答え

a. 運動方程式： $m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

b. $x = A \cos(\omega t + \phi)$ が解であることの証明: 上記の通り

c. 初期条件を満たす解： $x(t) = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$

## 問題 2

1. 問題の内容

高さ 60 m のビルの屋上から、120 g の携帯電話を落下させた。地面に衝突したときに地面にかかる平均の力の大きさを求めよ。衝突から静止するまでの時間は $1.0 \times 10^{-2}$ s とし、衝突後の跳ね返りはないものとする。重力加速度は $g = 9.8$ m/s$^2$ とする。

2. 解き方の手順

まず、衝突直前の携帯電話の速度 $v$ を求める。自由落下の式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ を用いる。初期速度 $v_0 = 0$ なので、

$$v^2 = 2gh = 2 \times 9.8 \times 60 = 1176$$

$$v = \sqrt{1176} \approx 34.29 \text{ m/s}$$

次に、運動量変化を求める。衝突後の速度は 0 なので、運動量変化 $\Delta p$ は、

$$\Delta p = m(v_f - v_i) = m(0 - v) = -mv$$

ここで、質量 $m = 120 \text{ g} = 0.12 \text{ kg}$ であるから、

$$\Delta p = -0.12 \times 34.29 \approx -4.115 \text{ kg m/s}$$

力積 $F \Delta t = \Delta p$ より、平均の力 $F$ は、

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-4.115}{1.0 \times 10^{-2}} = -411.5 \text{ N}$$

力の大きさは絶対値で表すので、$|F| = 411.5$ Nとなる。

重力の影響も考慮する必要がある。携帯電話の重力は $mg = 0.12 \times 9.8 = 1.176$ N である。

地面にかかる力は、$F_{\text{ground}} = |F| + mg = 411.5 + 1.176 = 412.676$ N

3. 最終的な答え

地面にかかる平均の力の大きさ：412.7 N （有効数字3桁）