与えられた2次不等式 $x^2 + 2x - 1 \leq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 + 2x - 1 \leq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x - 1 = 0$ の解を求める。因数分解できないため、解の公式を用いる。

解の公式は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられる。この問題では、$a = 1, b = 2, c = -1$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 + 2x - 1 = 0$ の解は $x = -1 - \sqrt{2}$ と $x = -1 + \sqrt{2}$ である。

次に、$x^2 + 2x - 1 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲を考える。$x^2 + 2x - 1$ は下に凸な放物線であるから、$x^2 + 2x - 1 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x = -1 - \sqrt{2}$ と $x = -1 + \sqrt{2}$ の間である。

よって、$-1 - \sqrt{2} \leq x \leq -1 + \sqrt{2}$ が解である。

3. 最終的な答え

$-1 - \sqrt{2} \leq x \leq -1 + \sqrt{2}$