与えられた二項式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $(x+2)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。 (2) $(x^2-1)^7$ の展開式における $x^4$ と $x^3$ の係数を求める。 (3) $(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における $x^{11}$ の係数を求める。 (4) $(2x^4 - \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における定数項を求める。

1. 問題の内容

与えられた二項式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $(x+2)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

(2) $(x^2-1)^7$ の展開式における $x^4$ と $x^3$ の係数を求める。

(3) $(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における $x^{11}$ の係数を求める。

(4) $(2x^4 - \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における定数項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)^7$ の展開式における $x^4$ の係数

二項定理より、$(x+2)^7$ の一般項は ${}_7 C_r x^r 2^{7-r}$ で表されます。$x^4$ の係数を求めるので、$r=4$ とすると、

${}_7 C_4 x^4 2^{7-4} = {}_7 C_4 x^4 2^3 = 35 x^4 \cdot 8 = 280 x^4$

したがって、$x^4$ の係数は $280$ です。

(2) $(x^2-1)^7$ の展開式における $x^4$ と $x^3$ の係数

二項定理より、$(x^2-1)^7$ の一般項は ${}_7 C_r (x^2)^r (-1)^{7-r}$ で表されます。

$x^4$ の係数を求めるには、$(x^2)^r = x^4$ となる $r$ を求めます。つまり、$2r=4$ より $r=2$ となります。

${}_7 C_2 (x^2)^2 (-1)^{7-2} = {}_7 C_2 x^4 (-1)^5 = 21 x^4 (-1) = -21 x^4$

したがって、$x^4$ の係数は $-21$ です。

$x^3$ の係数を求めるには、$(x^2)^r = x^3$ となる $r$ を求めます。つまり、$2r=3$ となる $r$ は整数ではありません。したがって、$x^3$ の項は存在せず、$x^3$ の係数は $0$ です。

(3) $(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における $x^{11}$ の係数

二項定理より、$(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ の一般項は ${}_{10} C_r (x^2)^r (\frac{1}{x})^{10-r} = {}_{10} C_r x^{2r} x^{-(10-r)} = {}_{10} C_r x^{2r - (10-r)} = {}_{10} C_r x^{3r - 10}$ で表されます。

$x^{11}$ の係数を求めるには、$3r - 10 = 11$ となる $r$ を求めます。つまり、$3r = 21$ より $r=7$ となります。

${}_{10} C_7 x^{3(7) - 10} = {}_{10} C_7 x^{21-10} = {}_{10} C_7 x^{11} = 120 x^{11}$

したがって、$x^{11}$ の係数は $120$ です。

(4) $(2x^4 - \frac{1}{x})^{10}$ の展開式における定数項

二項定理より、$(2x^4 - \frac{1}{x})^{10}$ の一般項は ${}_{10} C_r (2x^4)^r (-\frac{1}{x})^{10-r} = {}_{10} C_r 2^r x^{4r} (-1)^{10-r} x^{-(10-r)} = {}_{10} C_r 2^r (-1)^{10-r} x^{4r - (10-r)} = {}_{10} C_r 2^r (-1)^{10-r} x^{5r - 10}$ で表されます。

定数項を求めるには、$5r - 10 = 0$ となる $r$ を求めます。つまり、$5r = 10$ より $r=2$ となります。

${}_{10} C_2 2^2 (-1)^{10-2} = {}_{10} C_2 \cdot 4 \cdot (-1)^8 = 45 \cdot 4 \cdot 1 = 180$

したがって、定数項は $180$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^4$ の係数: $280$

(2) $x^4$ の係数: $-21$, $x^3$ の係数: $0$

(3) $x^{11}$ の係数: $120$

(4) 定数項: $180$