問題1は、関数 $f(x)$ が $x=a$ で極大、極小、変曲点を持つための必要条件および十分条件に関する穴埋め問題です。問題2は、プールの水の深さの変化を記述する微分方程式に関する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

問題1は、関数 $f(x)$ が $x=a$ で極大、極小、変曲点を持つための必要条件および十分条件に関する穴埋め問題です。問題2は、プールの水の深さの変化を記述する微分方程式に関する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

1. 極大となる必要条件は $f'(a)=0$ (e) なので、①はe

2. $x=a$ で極大となるためには、$x<a$ で $f'(x)>0$ (f)、かつ $x>a$ で $f'(x)<0$ (d)でなければならない。よって、②はf、③はd

3. $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ であれば、$x=a$ で極大となるので、④はg

4. 極小となる必要条件は $f'(a)=0$ (e) なので、⑤はe

5. $x=a$ で極小となるためには、$x<a$ で $f'(x)<0$ (d)、かつ $x>a$ で $f'(x)>0$ (f)でなければならない。よって、⑥はd、⑦はf

6. $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) > 0$ であれば、$x=a$ で極小となるので、⑧はi

7. 変曲点を持つ必要条件は $f''(a)=0$ (h) なので、⑨はh

8. $x=a$ で変曲点を持つためには、$x<a$ と $x>a$ で $f''(x)$ が符号をn) 違う必要があるので、⑩はl、⑪はn

**問題2**

プールの水の深さを $h(t)$ とします。

毎秒1000 [m³] の水が入り、毎秒 1500h(t) [m³] の水が流れ出るので、水の体積の変化は

$\frac{dV}{dt} = 1000 - 1500h(t)$

と表せます。プールの底面積は500 [m²] なので、水の体積 $V$ は $V = 500h(t)$ と表せます。

したがって、

$\frac{dV}{dt} = 500 \frac{dh(t)}{dt}$

よって、

$500 \frac{dh(t)}{dt} = 1000 - 1500h(t)$

$\frac{dh(t)}{dt} = \frac{1000 - 1500h(t)}{500} = 2 - 3h(t)$

したがって、⑫は $2 - 3h(t)$

十分に時間が経つと、$\frac{dh(t)}{dt} = 0$ となるので、$2 - 3h(t) = 0$ より、 $h(t) = \frac{2}{3}$ に漸近する。よって、⑬は1

3. 最終的な答え

**問題1**

1. ①: e, ②: f, ③: d, ④: g

2. ⑤: e, ⑥: d, ⑦: f, ⑧: i

3. ⑨: h, ⑩: l, ⑪: n

**問題2**

1. ⑫: $2 - 3h(t)$

2. ⑬: 1