問題は2つあります。 (1) 関数 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots + a_nx^n + R_{n+1}$ が与えられたとき、係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n$ を求めよ。 (2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ に対して、マクローリンの定理を適用して得られるべき級数展開 $g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + b_4x^4 + \dots + b_nx^n + R_{n+1}$ における係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, \dots, b_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots + a_nx^n + R_{n+1}$ が与えられたとき、係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ に対して、マクローリンの定理を適用して得られるべき級数展開 $g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + b_4x^4 + \dots + b_nx^n + R_{n+1}$ における係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, \dots, b_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数$f(x)$が多項式で与えられているので、係数は自明です。

(2) 関数 $g(x)$ に対して、マクローリン展開を行います。マクローリン展開は、関数を0の周りでテイラー展開したものです。

係数 $b_n$ は次の式で求められます。

$b_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!}$

まず、$g(x)$ のいくつかの導関数を計算します。

$g(x) = \frac{1}{2x+3}$

$g(0) = \frac{1}{3}$

$g'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$

$g'(0) = -\frac{2}{3^2}$

$g''(x) = \frac{8}{(2x+3)^3}$

$g''(0) = \frac{8}{3^3}$

$g'''(x) = -\frac{48}{(2x+3)^4}$

$g'''(0) = -\frac{48}{3^4}$

一般に、$g^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n 2^n n!}{(2x+3)^{n+1}}$ と予想できます。数学的帰納法で証明できます。

すると、$g^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n 2^n n!}{3^{n+1}}$

よって、$b_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^n 2^n n!}{n! 3^{n+1}} = \frac{(-1)^n 2^n}{3^{n+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$の場合：

$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n$ はそのまま係数として与えられています。

(2) $g(x)$の場合：

$b_n = \frac{(-1)^n 2^n}{3^{n+1}}$

つまり、

$b_0 = \frac{1}{3}$

$b_1 = -\frac{2}{3^2} = -\frac{2}{9}$

$b_2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$b_3 = -\frac{2^3}{3^4} = -\frac{8}{81}$

$b_4 = \frac{2^4}{3^5} = \frac{16}{243}$

...

$b_n = \frac{(-1)^n 2^n}{3^{n+1}}$