(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$) に対して、マクローリン展開を行い、その係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_n$ を求めよ。 (2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ に対して、マクローリン展開を行い、その係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, ..., b_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$) に対して、マクローリン展開を行い、その係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_n$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ に対して、マクローリン展開を行い、その係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, ..., b_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

マクローリン展開は $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ で与えられる。

したがって、$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ となる。

まず、$f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ の $k$ 階導関数を求める。

$f(0) = \frac{1}{\beta} = a_0$

$f'(x) = -\frac{\alpha}{(\alpha x + \beta)^2}$

$f'(0) = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_1 = \frac{f'(0)}{1!} = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$f''(x) = \frac{2\alpha^2}{(\alpha x + \beta)^3}$

$f''(0) = \frac{2\alpha^2}{\beta^3}$

$a_2 = \frac{f''(0)}{2!} = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$f'''(x) = -\frac{6\alpha^3}{(\alpha x + \beta)^4}$

$f'''(0) = -\frac{6\alpha^3}{\beta^4}$

$a_3 = \frac{f'''(0)}{3!} = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

一般に、$f^{(k)}(x) = (-1)^k \frac{k!\alpha^k}{(\alpha x + \beta)^{k+1}}$となるので、

$f^{(k)}(0) = (-1)^k \frac{k!\alpha^k}{\beta^{k+1}}$

$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = (-1)^k \frac{\alpha^k}{\beta^{k+1}}$

(2)

同様に、$g(x) = \frac{1}{2x+3}$ の $k$ 階導関数を求める。

$g(0) = \frac{1}{3} = b_0$

$g'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$

$g'(0) = -\frac{2}{3^2}$

$b_1 = \frac{g'(0)}{1!} = -\frac{2}{9}$

$g''(x) = \frac{2 \cdot 2^2}{(2x+3)^3}$

$g''(0) = \frac{2 \cdot 2^2}{3^3}$

$b_2 = \frac{g''(0)}{2!} = \frac{4}{27}$

$g'''(x) = -\frac{6 \cdot 2^3}{(2x+3)^4}$

$g'''(0) = -\frac{6 \cdot 2^3}{3^4}$

$b_3 = \frac{g'''(0)}{3!} = -\frac{8}{81}$

一般に、$g^{(k)}(x) = (-1)^k \frac{k!2^k}{(2x+3)^{k+1}}$となるので、

$g^{(k)}(0) = (-1)^k \frac{k!2^k}{3^{k+1}}$

$b_k = \frac{g^{(k)}(0)}{k!} = (-1)^k \frac{2^k}{3^{k+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $a_k = (-1)^k \frac{\alpha^k}{\beta^{k+1}}$

(2) $b_k = (-1)^k \frac{2^k}{3^{k+1}}$