(1) $(3-2i)x + 3iy = -3 - 4i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める。 (2) $(2+i)^3 + (2-i)^3$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $(3-2i)x + 3iy = -3 - 4i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求める。

(2) $(2+i)^3 + (2-i)^3$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式を展開し、実部と虚部に分離する。

$(3-2i)x + 3iy = 3x - 2ix + 3iy = 3x + i(-2x + 3y) = -3 - 4i$

実部と虚部を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

$3x = -3$

$-2x + 3y = -4$

最初の式から $x = -1$ が得られる。

これを2番目の式に代入すると、 $-2(-1) + 3y = -4$, つまり $2 + 3y = -4$。

したがって $3y = -6$, よって $y = -2$。

(2) $(2+i)^3$と$(2-i)^3$をそれぞれ展開する。

$(2+i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(i) + 3(2)(i^2) + i^3 = 8 + 12i + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$

$(2-i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(-i) + 3(2)(-i)^2 + (-i)^3 = 8 - 12i + 6(-1) - (-i) = 8 - 12i - 6 + i = 2 - 11i$

したがって $(2+i)^3 + (2-i)^3 = (2 + 11i) + (2 - 11i) = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, y = -2$

(2) $4$