(1) 等式 $(3-2i)x + 3iy = -3 - 4i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求めよ。 (2) 次の計算をせよ。 (i) $\frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4}$ (ii) $(2+i)^3 + (2-i)^3$

1. 問題の内容

(1) 等式 $(3-2i)x + 3iy = -3 - 4i$ を満たす実数 $x, y$ の値を求めよ。

(2) 次の計算をせよ。

(i) $\frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4}$

(ii) $(2+i)^3 + (2-i)^3$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式を展開し、実部と虚部に分けます。

$(3-2i)x + 3iy = 3x - 2ix + 3iy = 3x + (-2x + 3y)i = -3 - 4i$

実部と虚部を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$3x = -3$

$-2x + 3y = -4$

1つ目の式から、$x = -1$ を得ます。

これを2つ目の式に代入すると、 $-2(-1) + 3y = -4$ となり、$2 + 3y = -4$ です。

したがって、$3y = -6$ となり、$y = -2$ を得ます。

(2) (i)

$i$ のべき乗について、$i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ であることを利用します。

$\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$

$\frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$

$\frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \times \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$

$\frac{1}{i^4} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$\frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4} = -i - 1 + i + 1 = 0$

(2) (ii)

$(2+i)^3$ と $(2-i)^3$ をそれぞれ展開します。

$(2+i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(i) + 3(2)(i^2) + i^3 = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$

$(2-i)^3 = 2^3 + 3(2^2)(-i) + 3(2)(-i)^2 + (-i)^3 = 8 - 12i - 6 + i = 2 - 11i$

したがって、$(2+i)^3 + (2-i)^3 = (2 + 11i) + (2 - 11i) = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$, $y = -2$

(2) (i) $0$

(ii) $4$