与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} $ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $ \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} $ の形であるとき、固有値 $\lambda$ と $x$ を求める問題です。ここでは、$x$ にあたる「ツ」を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルが $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ の形であるとき、固有値 $\lambda$ と $x$ を求める問題です。ここでは、$x$ にあたる「ツ」を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を$A$とおきます。

$A = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

固有ベクトルを$v = \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$とします。

固有値$\lambda$と固有ベクトル$v$は、$Av = \lambda v$を満たします。したがって、

$\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$

これを計算すると、次の連立方程式が得られます。

$7x - 6 = \lambda x$

$3x - 2 = \lambda$

2番目の式から、$\lambda = 3x - 2$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、

$7x - 6 = (3x - 2)x$

$7x - 6 = 3x^2 - 2x$

$3x^2 - 9x + 6 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = 2$ です。

$x = 1$ のとき、$\lambda = 3(1) - 2 = 1$

このとき、 $Av = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$となるため、$\lambda = 1$は確かに固有値となります。

$x = 2$ のとき、$\lambda = 3(2) - 2 = 4$

このとき、 $Av = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$となるため、$\lambda = 4$は確かに固有値となります。

問題文では、固有値は「タ」と指定されています。$x = 1$ の場合、$\lambda = 1$ であり、$x = 2$ の場合、$\lambda = 4$ となります。

したがって、$x=2$が求める解です。

3. 最終的な答え

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