与えられた行列 $\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ に対して、固有ベクトルが $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ であるとき、$\lambda$ と $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

の固有値 $\lambda$ に対して、固有ベクトルが $\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ であるとき、$\lambda$ と $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A$ とすると、固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\mathbf{v}$ は次の関係式を満たす。

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

ここで、 $A = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$であるから、

$\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$

これを計算すると、

$\begin{pmatrix} 7x - 6 \\ 3x - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda \end{pmatrix}$

したがって、次の連立方程式が得られる。

$7x - 6 = \lambda x$

$3x - 2 = \lambda$

2番目の式から $\lambda = 3x - 2$ が得られる。これを1番目の式に代入する。

$7x - 6 = (3x - 2)x$

$7x - 6 = 3x^2 - 2x$

$3x^2 - 9x + 6 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = 2$ となる。

(i) $x = 1$ のとき

$\lambda = 3(1) - 2 = 1$

(ii) $x = 2$ のとき

$\lambda = 3(2) - 2 = 4$

問題文の形を考えると、固有値が一つに定まる必要がある。

$x = 1$のとき、$\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$となるので、固有値$\lambda=1$、固有ベクトル$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$が解となる。

$x = 2$のとき、$\begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$となるので、固有値$\lambda=4$、固有ベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$が解となる。

3. 最終的な答え

固有値: 4

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、チ = 4, テ = 2