2025年度微分積分学I期末試験の問題用紙にある微分に関する問題を解きます。 具体的には、以下の2つの問題に答えます。 * 問1: 次の関数を $x$ について微分せよ。 (1) $4x^5 + 3x^2$ (2) $e^{-2x^2}$ (3) $\sin{4x}$ (4) $3\sqrt{x}$ (5) $\frac{1}{2-x}$ * 問2: 次の関数を $x$ について微分せよ。 (1) $x^{2x}$ (ただし $x > 0$) (2) $\sin(3x^2)$ (3) $\frac{x}{1+4x}$ (4) $\log \sqrt{\frac{1+3x}{1-3x}}$

## 解答

1. 問題の内容

2025年度微分積分学I期末試験の問題用紙にある微分に関する問題を解きます。

具体的には、以下の2つの問題に答えます。

* 問1: 次の関数を $x$ について微分せよ。

(1) $4x^5 + 3x^2$

(2) $e^{-2x^2}$

(3) $\sin{4x}$

(4) $3\sqrt{x}$

(5) $\frac{1}{2-x}$

* 問2: 次の関数を $x$ について微分せよ。

(1) $x^{2x}$ (ただし $x > 0$)

(2) $\sin(3x^2)$

(3) $\frac{x}{1+4x}$

(4) $\log \sqrt{\frac{1+3x}{1-3x}}$

2. 解き方の手順

**問1**

(1) $4x^5 + 3x^2$ の微分

多項式の微分は、各項ごとに微分して足し合わせます。

$\frac{d}{dx}(4x^5) = 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$

$\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

したがって、

$\frac{d}{dx}(4x^5 + 3x^2) = 20x^4 + 6x$

(2) $e^{-2x^2}$ の微分

合成関数の微分（チェーンルール）を使います。

$u = -2x^2$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = -4x$

$\frac{d}{du}e^u = e^u$

したがって、

$\frac{d}{dx}(e^{-2x^2}) = \frac{d}{du}(e^u) \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-4x) = -4xe^{-2x^2}$

(3) $\sin{4x}$ の微分

これも合成関数の微分です。

$u = 4x$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = 4$

$\frac{d}{du}\sin{u} = \cos{u}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(\sin{4x}) = \frac{d}{du}(\sin{u}) \cdot \frac{du}{dx} = \cos{u} \cdot 4 = 4\cos{4x}$

(4) $3\sqrt{x}$ の微分

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\frac{d}{dx}(3\sqrt{x}) = 3\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

(5) $\frac{1}{2-x}$ の微分

$\frac{1}{2-x} = (2-x)^{-1}$なので、合成関数の微分です。

$u = 2-x$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = -1$

$\frac{d}{du}u^{-1} = -u^{-2}$

したがって、

$\frac{d}{dx}((2-x)^{-1}) = \frac{d}{du}(u^{-1}) \cdot \frac{du}{dx} = -u^{-2} \cdot (-1) = (2-x)^{-2} = \frac{1}{(2-x)^2}$

**問2**

(1) $x^{2x}$ (ただし $x > 0$) の微分

両辺の自然対数をとります。

$\log(y) = \log(x^{2x}) = 2x \log(x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2\log(x) + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2\log(x) + 2$

$\frac{dy}{dx} = y(2\log(x) + 2) = x^{2x}(2\log(x) + 2) = 2x^{2x}(\log(x) + 1)$

(2) $\sin(3x^2)$ の微分

合成関数の微分です。

$u = 3x^2$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = 6x$

$\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$

したがって、

$\frac{d}{dx}(\sin(3x^2)) = \frac{d}{du}(\sin(u)) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$

(3) $\frac{x}{1+4x}$ の微分

商の微分公式を使います。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x, v = 1+4x$ とおくと、

$u' = 1, v' = 4$

したがって、

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+4x}) = \frac{1 \cdot (1+4x) - x \cdot 4}{(1+4x)^2} = \frac{1+4x - 4x}{(1+4x)^2} = \frac{1}{(1+4x)^2}$

(4) $\log \sqrt{\frac{1+3x}{1-3x}}$ の微分

まず、対数の性質を利用して式を簡単にします。

$\log \sqrt{\frac{1+3x}{1-3x}} = \frac{1}{2} \log(\frac{1+3x}{1-3x}) = \frac{1}{2} [\log(1+3x) - \log(1-3x)]$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} [\log(1+3x)] = \frac{3}{1+3x}$

$\frac{d}{dx} [\log(1-3x)] = \frac{-3}{1-3x}$

したがって、

$\frac{d}{dx} [\frac{1}{2} (\log(1+3x) - \log(1-3x))] = \frac{1}{2} [\frac{3}{1+3x} + \frac{3}{1-3x}] = \frac{3}{2} [\frac{(1-3x)+(1+3x)}{(1+3x)(1-3x)}] = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1-9x^2} = \frac{3}{1-9x^2}$

3. 最終的な答え

**問1**

(1) $20x^4 + 6x$

(2) $-4xe^{-2x^2}$

(3) $4\cos{4x}$

(4) $\frac{3}{2\sqrt{x}}$

(5) $\frac{1}{(2-x)^2}$

**問2**

(1) $2x^{2x}(\log(x) + 1)$

(2) $6x\cos(3x^2)$

(3) $\frac{1}{(1+4x)^2}$

(4) $\frac{3}{1-9x^2}$