関数 $y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $8 \le y \le b$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $8 \le y \le b$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の変域における $y$ の最小値を考える。$y=2x^2$ は $x=0$ で最小値 $y=0$ をとる。しかし、$y$ の変域は $8 \le y \le b$ であるので、$x=0$ は与えられた $x$ の変域に含まれていない。

したがって、$y$ の最小値は、$x=-4$ または $x=a$ でとる。

$x=-4$ のとき、$y=2(-4)^2 = 2(16) = 32$ となる。

$x=a$ のとき、$y=2a^2$ となる。

$y$ の変域の最小値が8であるから、

$x=-4$ が $y$ の最大値を与えることが考えられるが、問題文より $y$ の最小値が8であるから、$x=-4$ は $y$ の最大値を与えない。

$y$ の変域の最小値が8であるから、 $2x^2=8$ となる $x$ の値を考える。

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$-4 \le x \le a$ より、$x = -2$ は変域に含まれる。また、$x = 2$ も変域に含まれる可能性がある。

$x=-4$ のとき $y=32$ である。また、$y$ の変域の上限が $b$ であるから、$b = 32$ である。

ここで、$x = a$ のとき、$y=8$ であるから、$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$-4 \le x \le a$ より、$a>0$ である必要がある。

したがって、$a = 2$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 32$