$a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ とし、$a$ の小数部分を $t$ とするとき、$\frac{10}{t^2 + 6t + 2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ とし、$a$ の小数部分を $t$ とするとき、$\frac{10}{t^2 + 6t + 2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ の値を計算します。分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ であり、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、 $a \approx 1.732 + 1.414 = 3.146$ となります。

したがって、$a$ の整数部分は 3 です。つまり、$t = a - 3 = \sqrt{3} + \sqrt{2} - 3$ となります。

次に、$t^2 + 6t$ を計算します。

$t^2 + 6t = (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 3)^2 + 6(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 3)$

$= (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 6(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 9 + 6(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - 18$

$= (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 9$

$= 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 9$

$= 5 + 2\sqrt{6} - 9 = 2\sqrt{6} - 4$

したがって、$t^2 + 6t = 2\sqrt{6} - 4$ です。

最後に、$\frac{10}{t^2 + 6t + 2}$ を計算します。

$t^2 + 6t + 2 = (2\sqrt{6} - 4) + 2 = 2\sqrt{6} - 2$

$\frac{10}{t^2 + 6t + 2} = \frac{10}{2\sqrt{6} - 2} = \frac{5}{\sqrt{6} - 1} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{6 - 1} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{5} = \sqrt{6} + 1$

3. 最終的な答え

a の整数部分：3

$t^2 + 6t = 2\sqrt{6} - 4$

$\frac{10}{t^2 + 6t + 2} = \sqrt{6} + 1$