与えられた5つの不定積分を計算します。 (1) $\int 3x^2 dx$ (2) $\int \frac{x}{2} dx$ (3) $\int (1-x) dx$ (4) $\int (x^2 \sin x + 1) dx$ (5) $\int x \cos x dx$

はい、承知いたしました。以下の手順で積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分を計算します。

(1) $\int 3x^2 dx$

(2) $\int \frac{x}{2} dx$

(3) $\int (1-x) dx$

(4) $\int (x^2 \sin x + 1) dx$

(5) $\int x \cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3x^2 dx$

定数倍の積分と、$x^n$の積分公式$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$を利用します。

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$

(2) $\int \frac{x}{2} dx$

定数倍の積分と、$x^n$の積分公式を利用します。

$\int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int (1-x) dx$

積分の線形性$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$と、$x^n$の積分公式を利用します。

$\int (1-x) dx = \int 1 dx - \int x dx = x - \frac{x^2}{2} + C$

(4) $\int (x^2 \sin x + 1) dx$

積分の線形性$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$を利用します。

$\int (x^2 \sin x + 1) dx = \int x^2 \sin x dx + \int 1 dx$

ここで$\int x^2 \sin x dx$は部分積分で計算できます。

部分積分法: $\int u dv = uv - \int v du$

$u = x^2$, $dv = \sin x dx$とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) 2x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$

さらに$\int x \cos x dx$も部分積分で計算できます。

$u = x$, $dv = \cos x dx$とすると、$du = dx$, $v = \sin x$

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C_1$

よって、

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C_2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C_2$

したがって、

$\int (x^2 \sin x + 1) dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + x + C$

(5) $\int x \cos x dx$

(4)で既に計算しました。部分積分法: $\int u dv = uv - \int v du$

$u = x$, $dv = \cos x dx$とすると、$du = dx$, $v = \sin x$

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int 3x^2 dx = x^3 + C$

(2) $\int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int (1-x) dx = x - \frac{x^2}{2} + C$

(4) $\int (x^2 \sin x + 1) dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + x + C$

(5) $\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$