SENSEI AI
About App

次の関数を微分する問題です。 (1) $(\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}})^2$ (2) $\tan^{-1} \frac{1}{x}$ (3) $\frac{1}{\sin^{-1} x}$ (4) $\frac{1}{\tan^{-1} 2x}$

解析学微分合成関数の微分逆三角関数
2025/7/22

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。
(1) (sin⁡−1x3)2(\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}})^2
(2) tan⁡−11x\tan^{-1} \frac{1}{x}
(3) 1sin⁡−1x\frac{1}{\sin^{-1} x}
(4) 1tan⁡−12x\frac{1}{\tan^{-1} 2x}

2. 解き方の手順

(1) (sin⁡−1x3)2(\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}})^2 の微分
合成関数の微分を行います。
y=(sin⁡−1x3)2y = (\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}})^2
dydx=2(sin⁡−1x3)⋅ddx(sin⁡−1x3)\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}) \cdot \frac{d}{dx} (\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}})
ddx(sin⁡−1x)=11−x2\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} より、
ddx(sin⁡−1x3)=11−(x3)2⋅13=11−x23⋅13=13−x23⋅13=33−x2⋅13=13−x2\frac{d}{dx} (\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{3}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3-x^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3-x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3-x^2}}
よって、
dydx=2(sin⁡−1x3)⋅13−x2=2sin⁡−1x33−x2\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3-x^2}} = \frac{2\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3-x^2}}
(2) tan⁡−11x\tan^{-1} \frac{1}{x} の微分
ddx(tan⁡−1x)=11+x2\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} より、
ddx(tan⁡−11x)=11+(1x)2⋅ddx(1x)=11+1x2⋅(−1x2)=x2x2+1⋅(−1x2)=−1x2+1\frac{d}{dx} (\tan^{-1} \frac{1}{x}) = \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2+1}
(3) 1sin⁡−1x\frac{1}{\sin^{-1} x} の微分
ddx(1x)=−1x2\frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2} より、
ddx(1sin⁡−1x)=−1(sin⁡−1x)2⋅ddx(sin⁡−1x)=−1(sin⁡−1x)2⋅11−x2=−1(sin⁡−1x)21−x2\frac{d}{dx} (\frac{1}{\sin^{-1} x}) = -\frac{1}{(\sin^{-1} x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = -\frac{1}{(\sin^{-1} x)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{(\sin^{-1} x)^2 \sqrt{1-x^2}}
(4) 1tan⁡−12x\frac{1}{\tan^{-1} 2x} の微分
ddx(tan⁡−1x)=11+x2\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} より、
ddx(tan⁡−12x)=11+(2x)2⋅2=21+4x2\frac{d}{dx} (\tan^{-1} 2x) = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}
ddx(1tan⁡−12x)=−1(tan⁡−12x)2⋅ddx(tan⁡−12x)=−1(tan⁡−12x)2⋅21+4x2=−2(1+4x2)(tan⁡−12x)2\frac{d}{dx} (\frac{1}{\tan^{-1} 2x}) = -\frac{1}{(\tan^{-1} 2x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} 2x) = -\frac{1}{(\tan^{-1} 2x)^2} \cdot \frac{2}{1+4x^2} = -\frac{2}{(1+4x^2)(\tan^{-1} 2x)^2}

3. 最終的な答え

(1) 2sin⁡−1x33−x2\frac{2\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3-x^2}}
(2) −1x2+1-\frac{1}{x^2+1}
(3) −1(sin⁡−1x)21−x2-\frac{1}{(\sin^{-1} x)^2 \sqrt{1-x^2}}
(4) −2(1+4x2)(tan⁡−12x)2-\frac{2}{(1+4x^2)(\tan^{-1} 2x)^2}

「解析学」の関連問題

自然数 $n$ に対して、関数 $y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

微分三角関数導関数繰り返し
2025/7/26

$y = \cos^2 x$のとき、$y^{(3)}$（$y$の3階導関数）を求めよ。

微分三角関数導関数高階導関数
2025/7/26

$n$ を自然数とする。関数 $y = (x - 1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

微分導関数数学的帰納法
2025/7/26

$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める。ここで、$n$ は自然数である。

微分指数関数導関数数学的帰納法
2025/7/26

$y = x^4$ のとき、$y^{(3)}$ を求めよ。ここで、$y^{(3)}$は $y$ の3階微分を表します。

微分高階微分関数微分計算
2025/7/26

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分せよ。

微分対数関数商の微分公式
2025/7/26

与えられた微分方程式の解を級数の形で求める問題です。 1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1, \quad (x = 0, y = 0)$

微分方程式級数解変数分離
2025/7/26

関数 $y = \log(1 + \frac{1}{x})$ ($x>0$)を微分せよ。ここで、logは自然対数とする。

微分対数関数合成関数
2025/7/26

与えられた定積分 $\int_{0}^{\log 3} \frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx$ を計算せよ。ただし、$e$は自然対数の底を表す。

定積分置換積分指数関数対数関数
2025/7/26

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

微分指数関数三角関数商の微分
2025/7/26