与えられた10個の関数をそれぞれ微分する問題です。

はい、承知いたしました。微分問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

各関数の微分を計算します。微分公式、合成関数の微分、商の微分などを使用します。

(1) $y = \sin(x+2)$

合成関数の微分を使用します。$\frac{dy}{dx} = \cos(x+2) \cdot \frac{d}{dx}(x+2) = \cos(x+2) \cdot 1$

(2) $y = 2\cos(2x-1)$

合成関数の微分を使用します。$\frac{dy}{dx} = 2(-\sin(2x-1)) \cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = -2\sin(2x-1) \cdot 2 = -4\sin(2x-1)$

(3) $y = \tan(3x+1)$

合成関数の微分を使用します。$\frac{dy}{dx} = \sec^2(3x+1) \cdot \frac{d}{dx}(3x+1) = \sec^2(3x+1) \cdot 3 = 3\sec^2(3x+1)$

(4) $y = 2\sin^2x - \cos^2x$

$\frac{dy}{dx} = 2(2\sin x \cos x) - 2\cos x(-\sin x) = 4\sin x\cos x + 2\sin x\cos x = 6\sin x\cos x = 3\sin(2x)$

(5) $y = \frac{1}{\sin x} = (\sin x)^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -(\sin x)^{-2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \csc x$

(6) $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$

商の微分を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin x + \cos x)\cos x - \sin x(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin x\cos x + \cos^2 x - \sin x\cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

(7) $y = \tan \sqrt{x}$

合成関数の微分を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(8) $y = \sec^2 x$

合成関数の微分を使用します。

$\frac{dy}{dx} = 2\sec x \cdot \frac{d}{dx}\sec x = 2\sec x (\sec x \tan x) = 2\sec^2 x \tan x$

(9) $y = \frac{\sin x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}}$

商の微分を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1+\cos^2 x}(\cos x) - \sin x \cdot \frac{1}{2}(1+\cos^2 x)^{-1/2}(2\cos x(-\sin x))}{1 + \cos^2 x}$

$= \frac{\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}}{1+\cos^2 x}$

$= \frac{\cos x(1+\cos^2 x) + \sin^2 x\cos x}{(1+\cos^2 x)^{3/2}} = \frac{\cos x+\cos^3 x + \sin^2 x\cos x}{(1+\cos^2 x)^{3/2}}$

$= \frac{\cos x + \cos x(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(1+\cos^2 x)^{3/2}} = \frac{\cos x + \cos x}{(1+\cos^2 x)^{3/2}} = \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)^{3/2}}$

(10) $y = \cot x + \frac{1}{2}\tan^2 x$

$\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x + \frac{1}{2}(2\tan x)(\sec^2 x) = -\csc^2 x + \tan x\sec^2 x$

$= -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x}\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

$= \frac{-\cos^3 x + \sin^3 x}{\sin^2 x \cos^3 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \cos(x+2)$

(2) $\frac{dy}{dx} = -4\sin(2x-1)$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3\sec^2(3x+1)$

(4) $\frac{dy}{dx} = 3\sin(2x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\cot x \csc x$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = 2\sec^2 x \tan x$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos x}{(1+\cos^2 x)^{3/2}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x + \tan x\sec^2 x = \frac{-\cos^3 x + \sin^3 x}{\sin^2 x \cos^3 x}$