与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $(\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}})^2$ (2) $\arctan{\frac{1}{x}}$ (3) $\frac{1}{\arcsin{x}}$ (4) $\frac{1}{\arctan{2x}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $(\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}})^2$

(2) $\arctan{\frac{1}{x}}$

(3) $\frac{1}{\arcsin{x}}$

(4) $\frac{1}{\arctan{2x}}$

2. 解き方の手順

(1) $(\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}})^2$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}}$ と置くと、$y = u^2$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{3}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3 - x^2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - x^2}}$

(2) $\arctan{\frac{1}{x}}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \frac{1}{x}$ と置くと、$y = \arctan{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1 + u^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{x^2 + 1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2 + 1}$

(3) $\frac{1}{\arcsin{x}}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \arcsin{x}$ と置くと、$y = \frac{1}{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{1}{(\arcsin{x})^2 \sqrt{1 - x^2}}$

(4) $\frac{1}{\arctan{2x}}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = \arctan{2x}$ と置くと、$y = \frac{1}{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(\arctan{2x})^2} \cdot \frac{2}{1 + 4x^2} = -\frac{2}{(1 + 4x^2)(\arctan{2x})^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{3 - x^2}}$

(2) $-\frac{1}{x^2 + 1}$

(3) $-\frac{1}{(\arcsin{x})^2 \sqrt{1 - x^2}}$

(4) $-\frac{2}{(1 + 4x^2)(\arctan{2x})^2}$