与えられた数式の値を計算します。 数式は $2\log_2 \frac{5}{2} + \log_2 \frac{3}{2} - \log_2 75$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

数式は $2\log_2 \frac{5}{2} + \log_2 \frac{3}{2} - \log_2 75$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

係数を対数の中に入れる:

$2\log_2 \frac{5}{2} = \log_2 (\frac{5}{2})^2 = \log_2 \frac{25}{4}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\log_2 \frac{25}{4} + \log_2 \frac{3}{2} - \log_2 75$

対数の和と差を積と商に変換します。

$\log_2 \frac{25}{4} + \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 (\frac{25}{4} \cdot \frac{3}{2}) = \log_2 \frac{75}{8}$

したがって、

$\log_2 \frac{75}{8} - \log_2 75 = \log_2 (\frac{75}{8} \div 75) = \log_2 (\frac{75}{8} \cdot \frac{1}{75}) = \log_2 \frac{1}{8}$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$なので、

$\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$

3. 最終的な答え

-3