$x^2 \log x$ の不定積分を計算します。

## 画像の問題の解答

いくつかの積分計算の問題が含まれています。問題6の(6), (7), (8), (9), (10)と、問題8を解きます。

### 問題6 (6) $\int x^2 \log x \, dx$

1. 問題の内容

$x^2 \log x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法を用います。$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ の公式を使います。

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

よって、

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

### 問題6 (7) $\int (2x+5)e^x \, dx$

1. 問題の内容

$(2x+5)e^x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法を用います。$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ の公式を使います。

$u = 2x+5$, $dv = e^x \, dx$ とすると、

$du = 2 \, dx$, $v = e^x$ となります。

よって、

$\int (2x+5)e^x \, dx = (2x+5)e^x - \int 2e^x \, dx = (2x+5)e^x - 2e^x + C = (2x+3)e^x + C$

3. 最終的な答え

$\int (2x+5)e^x \, dx = (2x+3)e^x + C$

### 問題6 (8) $\int \frac{1}{x^2-9} \, dx$

1. 問題の内容

$\frac{1}{x^2-9}$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$

$1 = A(x+3) + B(x-3)$

$x=3$ のとき、$1 = 6A$ より $A = \frac{1}{6}$

$x=-3$ のとき、$1 = -6B$ より $B = -\frac{1}{6}$

よって、

$\int \frac{1}{x^2-9} \, dx = \int \left(\frac{1}{6(x-3)} - \frac{1}{6(x+3)}\right) \, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{x-3} \, dx - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x+3} \, dx = \frac{1}{6} \log |x-3| - \frac{1}{6} \log |x+3| + C = \frac{1}{6} \log \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^2-9} \, dx = \frac{1}{6} \log \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$

### 問題6 (9) $\int \sin^2 x \, dx$

1. 問題の内容

$\sin^2 x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ の公式を使います。

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

### 問題6 (10) $\int x \log x \, dx$

1. 問題の内容

$x \log x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法を用います。$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ の公式を使います。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

よって、

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

### 問題8 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \, dx$

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、平方完成を行います。$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

したがって、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+1}} \, dx$

$t = x-1$ とおくと、$dt = dx$ なので、$\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \, dt$

問題文に与えられたヒントから、$s = t + \sqrt{t^2+1}$ とおきます。

$\frac{ds}{dt} = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2+1}} = \frac{\sqrt{t^2+1} + t}{\sqrt{t^2+1}} = \frac{s}{\sqrt{t^2+1}}$

$\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}} = \frac{ds}{s}$

よって、$\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \, dt = \int \frac{ds}{s} = \log |s| + C = \log |t + \sqrt{t^2+1}| + C = \log |x-1 + \sqrt{(x-1)^2+1}| + C = \log |x-1 + \sqrt{x^2-2x+2}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \, dx = \log |x-1 + \sqrt{x^2-2x+2}| + C$