与えられた定積分を計算する問題です。具体的には以下の5つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^2 (2x^2+1) dx$ (2) $\int_0^{\pi/2} \cos^2x \sin x dx$ (3) $\int_0^1 x(x-1)^3 dx$ (4) $\int_0^\pi x \sin x dx$ (5) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。具体的には以下の5つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^2 (2x^2+1) dx$

(2) $\int_0^{\pi/2} \cos^2x \sin x dx$

(3) $\int_0^1 x(x-1)^3 dx$

(4) $\int_0^\pi x \sin x dx$

(5) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^2 (2x^2+1) dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int (2x^2+1) dx = \frac{2}{3}x^3 + x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_1^2 (2x^2+1) dx = [\frac{2}{3}x^3 + x]_1^2 = (\frac{2}{3}(2^3) + 2) - (\frac{2}{3}(1^3) + 1) = \frac{16}{3} + 2 - \frac{2}{3} - 1 = \frac{14}{3} + 1 = \frac{17}{3}$

(2) $\int_0^{\pi/2} \cos^2x \sin x dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

$x=0$ のとき $u = \cos 0 = 1$

$x=\pi/2$ のとき $u = \cos(\pi/2) = 0$

$\int_0^{\pi/2} \cos^2x \sin x dx = \int_1^0 u^2 (-du) = -\int_1^0 u^2 du = \int_0^1 u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{1}{3}$

(3) $\int_0^1 x(x-1)^3 dx$

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$x(x-1)^3 = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x$

$\int_0^1 x(x-1)^3 dx = \int_0^1 (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) dx = [\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{4 - 15 + 20 - 10}{20} = \frac{-1}{20}$

(4) $\int_0^\pi x \sin x dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

$\int_0^\pi x \sin x dx = [-x \cos x + \sin x]_0^\pi = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0 \cos 0 + \sin 0) = (-\pi (-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$

(5) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$x=1$ のとき $u = \log 1 = 0$

$x=e$ のとき $u = \log e = 1$

$\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int_0^1 u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{17}{3}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $-\frac{1}{20}$

(4) $\pi$

(5) $\frac{1}{3}$