正の定数 $a$ が与えられたとき、二つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ がある。 (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表す。 (2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とするとき、$d^2$ を $a$ を用いて表す。 (3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられたとき、二つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ がある。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表す。

(2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とするとき、$d^2$ を $a$ を用いて表す。

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2ax + y^2 - 3a^2 = 0$

$(x - a)^2 - a^2 + y^2 - 3a^2 = 0$

$(x - a)^2 + y^2 = 4a^2$

したがって、円 $C_1$ の中心の座標は $(a, 0)$ であり、半径は $2a$ である。

(2) 円 $C_2$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

したがって、円 $C_2$ の中心の座標は $(1, -2)$ であり、半径は $1$ である。

円 $C_1$ の中心 $(a, 0)$ と円 $C_2$ の中心 $(1, -2)$ の間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(a - 1)^2 + 4}$

$d^2 = (a - 1)^2 + 4 = a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 - 2a + 5$

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるためには、以下の条件を満たす必要がある。

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

ここで、$r_1$ は円 $C_1$ の半径、$r_2$ は円 $C_2$ の半径である。

$r_1 = 2a$、$r_2 = 1$ なので、

$|2a - 1| < \sqrt{a^2 - 2a + 5} < 2a + 1$

まず、$\sqrt{a^2 - 2a + 5} < 2a + 1$ を考える。両辺を2乗すると、

$a^2 - 2a + 5 < (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$

$0 < 3a^2 + 6a - 4$

$3a^2 + 6a - 4 > 0$

解の公式より、$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(-4)}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

$a > 0$ より、$a > -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

次に、$|2a - 1| < \sqrt{a^2 - 2a + 5}$ を考える。両辺を2乗すると、

$(2a - 1)^2 < a^2 - 2a + 5$

$4a^2 - 4a + 1 < a^2 - 2a + 5$

$3a^2 - 2a - 4 < 0$

解の公式より、$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-4)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

$\frac{1 - \sqrt{13}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

$a > 0$ より、$0 < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

$a > -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ かつ $0 < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$ である必要がある。

$-1 + \frac{\sqrt{21}}{3} \approx 0.5275$

$\frac{1 + \sqrt{13}}{3} \approx 1.5352$

$2a > 1$ すなわち $a > \frac{1}{2}$ を満たし、 $2a + 1 > 0$ は常に満たされる。

$\frac{1}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$ と $a > -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ より $-1+\frac{\sqrt{21}}{3} < a < \frac{1+\sqrt{13}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 円 $C_1$ の中心の座標: $(a, 0)$、半径: $2a$

(2) $d^2 = a^2 - 2a + 5$

(3) $-1+\frac{\sqrt{21}}{3} < a < \frac{1+\sqrt{13}}{3}$