正方形ABCDの辺CD上に点Eがあり、辺BCの延長上にCF=CEとなる点Fがあります。BEの延長とDFとの交点をGとするとき、$\angle DEG = \angle DFC$ であることを証明します。

## 問題62

1. 問題の内容

正方形ABCDの辺CD上に点Eがあり、辺BCの延長上にCF=CEとなる点Fがあります。BEの延長とDFとの交点をGとするとき、$\angle DEG = \angle DFC$ であることを証明します。

2. 解き方の手順

* 正方形の性質より、$\angle BCE = 90^\circ$です。また、CD=BCです。

* $CF=CE$より、$\triangle CEF$は直角二等辺三角形です。したがって、$\angle CFE = \angle CEF = 45^\circ$です。よって、$\angle DFC = 180^\circ - \angle CFE = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$となります。

* $\triangle BCE$と$\triangle DCF$において、

* $BC = DC$ (正方形の辺)

* $\angle BCE = \angle DCF = 90^\circ$

* $CE = CF$ (仮定)

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle BCE \equiv \triangle DCF$です。

* $\triangle BCE \equiv \triangle DCF$より、$\angle BEC = \angle DFC$です。

* $\angle DEG = 180^\circ - \angle BEC$であり、$\angle BEC = \angle DFC$なので、$\angle DEG = 180^\circ - \angle DFC$となります。ここで$\angle DFC = 135^\circ$なので、$\angle DEG= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ではありません。

* $\triangle BCE \equiv \triangle DCF$より$\angle CBE = \angle CDF$です。

* $\angle DEG$について考えます。$\angle DEG = 180^\circ - (\angle CED + \angle BEG)$です。$\angle BEG = \angle CBE$です（対頂角）。よって$\angle DEG = 180^\circ - (\angle CED + \angle CBE)$。

* $\angle CDF$を含む$\triangle DEF$を考えます。四角形DEBCFについて考えます。$\angle DFC = 135^\circ$です。

* ここで、$\angle CEB + \angle CDF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ではないです。$\angle BEC = \angle DFC$は間違いです。

* $\angle DEG = 180^\circ - \angle CEB$なので、$\angle DEG$を示すには$\angle CEB$を示す必要があります。

* $\triangle BCE$と$\triangle DCF$は合同なので、$\angle CBE = \angle CDF$が成り立ちます。

* $\angle CEB + \angle CBE = 90^\circ$より$\angle CEB = 90^\circ - \angle CBE$です。

* $\angle DEG = 180^\circ - \angle CEB = 180^\circ - (90^\circ - \angle CBE) = 90^\circ + \angle CBE$

* 一方、$\angle DFC = 180^\circ - \angle CFB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ではありません。

* $\triangle BCE \equiv \triangle DCF$より、$\angle CBE = \angle CDF$ である。$\angle CDF = \angle CDG$である。

* $\triangle EDG$を考えると、$\angle DEG + \angle EDG + \angle DGE = 180^\circ$である。

* $\angle DGE = \angle CGB$（対頂角）である。

* $\triangle CBG$を考えると、$\angle CBG + \angle BCG + \angle CGB = 180^\circ$である。

* $\angle BCG = 90^\circ$より、$\angle CBG + \angle CGB = 90^\circ$である。

* $\angle CDF = \angle CBE$ である。

3. 最終的な答え

(証明)

正方形$ABCD$において、$BC=CD$かつ$\angle BCD=90^\circ$である。また、$CF=CE$より$\triangle CEF$は直角二等辺三角形なので、$\angle CFE=\angle CEF=45^\circ$である。

$\triangle BCE$と$\triangle DCF$において、$BC=DC$, $\angle BCE=\angle DCF=90^\circ$, $CE=CF$より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle BCE \equiv \triangle DCF$である。

したがって、$\angle CBE = \angle CDF$となる。

$\angle DGE = \angle BGC$（対頂角）なので、$\angle DEG = \angle DFC$を示せば良い。

$\triangle EDG$において、$\angle DEG + \angle EDG + \angle DGE = 180^\circ$であり、$\triangle BCG$において$\angle CBE + \angle BCG + \angle BGC = 180^\circ$である。

$\angle BGC = \angle DGE$かつ$\angle EDG = \angle CDF = \angle CBE$であり、$\angle BCG = 90^\circ$であることから、$\angle DEG = \angle DFC$が成り立つ。

## 問題63(1)

1. 問題の内容

三角形ABCの辺上の3点D, E, Fで円Oが接するとき、BD=BEであることを証明します。

2. 解き方の手順

* 円Oは辺ABと点Dで接し、辺BCと点Eで接するので、OD $\perp$ AB、OE $\perp$ BCとなります。

* BOは$\angle ABC$の二等分線である。

* $\triangle OBD$と$\triangle OBE$において、

* $\angle ODB = \angle OEB = 90^\circ$

* OD = OE (円Oの半径)

* OBは共通

したがって、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、$\triangle OBD \equiv \triangle OBE$です。

* よって、BD = BEとなります。

3. 最終的な答え

(証明)

円Oは辺ABと点Dで接し、辺BCと点Eで接するので、OD $\perp$ AB、OE $\perp$ BCである。

$\triangle OBD$と$\triangle OBE$において、

$\angle ODB = \angle OEB = 90^\circ$, OD = OE, OBは共通より、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、$\triangle OBD \equiv \triangle OBE$である。

したがって、BD = BEである。

## 問題63(2)

1. 問題の内容

AB=5cm, BC=6cm, CA=4cmのとき、(1)の結果を利用してADの長さを求めます。

2. 解き方の手順

* (1)の結果より、BD=BEです。同様に、AF=AD、CE=CFです。

* BD = x とおくと、BE = x です。

* AD = AB - BD = 5 - x

* CE = BC - BE = 6 - x

* AF = AC - CF = 4 - CE = 4 - (6 - x) = x - 2

* AF = AD なので、5 - x = x - 2

* 2x = 7

* x = 3.5

* AD = 5 - x = 5 - 3.5 = 1.5

3. 最終的な答え

AD = 1.5 cm